Matrice inverse et polynôme annulateur - Exercice 1
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Soit A∈M3(K) tel que A=⎝⎛10−12−66−8−6004⎠⎞ .
Question 1
Calculer A2−2A et en déduire un polynôme annulateur de la matrice A.
Correction
Nous savons que : A=⎝⎛10−12−66−8−6004⎠⎞ On vérifie facilement que : A2=⎝⎛28−24−1212−8−120016⎠⎞ Finalement :
A2−2A=8I3
Polynômes annulateurs d’une matrice carrée
Soit A∈Mn(K) . On appelle polynôme annulateur de A tout polynôme P∈K[X] pour lequel P(A)=0 .
Comme A2−2A=8I3 alors A2−2A−8I3=0 . Ce qui signifie que P(X)=X2−2X−8 est un polynôme annulateur de la matrice A.
Question 2
En déduire la matrice inverse de A noté A−1 .
Correction
D'après la question 1, nous savons que : A2−2A=8I3 A×A−2A×I3=8I3
Distributivité du produit par rapport à la somme.
A⋅(B+C)=AB+AC et (B+C)⋅A=BA+CA
Il vient alors que : A⋅(A−2I3)=8I3 81⋅A⋅(A−2I3)=I3 D'où :
A⋅[81⋅(A−2I3)]=I3
Matrice inversible
Soit A∈Mn(K) . A est inversible si et seulement il existe une unique matrice B∈Mn(K) tel que : AB=BA=In. On appelle B l’inverse de A et on la note A−1 . Remarque : il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB=In ou bien BA=In et on aura alors nécessairement
A−1=B
.
Il en résulte donc que : A−1=81⋅(A−2I3) A−1=81⋅⎝⎛⎝⎛10−12−66−8−6004⎠⎞−2⋅⎝⎛100010001⎠⎞⎠⎞ Ainsi :