Primitives et calculs d'intégrales

Primitives et conditions initiales - Exercice 1

20 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée.
Question 1

f(x)=2(3x+1)2f\left(x\right)=\frac{2}{\left(3x+1\right)^{2} }
F(0)=1F\left(0\right)=1

Correction
On reconnait une forme u′u2\frac{u'}{u^{2} }
Commençons par calculer les primitives de ff
Or F(0)=1F\left(0\right)=1 équivaut successivement à
−23(3×0+1)+k=1\frac{-2}{3\left(3\times 0+1\right)} +k=1
−23+k=1\frac{-2}{3} +k=1
k=1+23k=1+\frac{2}{3}
k=53k=\frac{5}{3}

Finalement :
F(x)=−23(3x+1)+53F\left(x\right)=\frac{-2}{3\left(3x+1\right)} +\frac{5}{3}
Question 2

f(x)=32x+2f\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{2x+2} }
F(1)=2F\left(1\right)=2

Correction
On reconnait une forme u′u\frac{u'}{\sqrt{u} }
Commençons par calculer les primitives de ff

Or F(1)=2F\left(1\right)=2 équivaut successivement à
3×4+k=23\times\sqrt{4} +k=2
6+k=26 +k=2
k=−4k=-4

Finalement :
F(x)=32x+2−4F\left(x\right)=3\sqrt{2x+2} -4
Question 3

f(x)=5(2x+1)5f\left(x\right)=\frac{5}{\left(2x+1\right)^{5} }
F(−1)=0F\left(-1\right)=0

Correction
On va écrire ff sous une nouvelle forme comme f(x)=5(2x+1)−5f\left(x\right)=5\left(2x+1\right)^{-5}
On reconnait une forme u′unu'u^{n}
Commençons par calculer les primitives de ff

Or F(−1)=0F\left(-1\right)=0 équivaut successivement à
−58(2×(−1)+1)4+k=0\frac{-5}{8\left(2\times \left(-1\right)+1\right)^{4} } +k=0
−58+k=0\frac{-5}{8 } +k=0
k=58k=\frac{5}{8}

Finalement :
F(x)=−58(2x+1)4+58F\left(x\right)=\frac{-5}{8\left(2x+1\right)^{4} } +\frac{5}{8}
Question 4

f(x)=2cos⁡(2x+π)f\left(x\right)=2\cos \left(2x+\pi \right)
F(π3)=0F\left(\frac{\pi }{3} \right)=0

Correction
F(x)=sin⁡(2x+π)+kF\left(x\right)=\sin \left(2x+\pi \right)+k où k∈Rk\in R
Or F(π3)=0F\left(\frac{\pi }{3} \right)=0 équivaut successivement à
sin⁡(2π3+π)+k=0\sin \left(\frac{2\pi }{3} +\pi \right)+k=0
sin⁡(5π3)+k=0\sin \left(\frac{5\pi }{3} \right)+k=0
−32+k=0-\frac{\sqrt{3} }{2}+k=0
k=32k=\frac{\sqrt{3} }{2}

Finalement :
F(x)=sin⁡(2x+π)+32F\left(x\right)=\sin \left(2x+\pi \right)+\frac{\sqrt{3} }{2}
Question 5

f(x)=sin⁡(4x+π3)f\left(x\right)=\sin \left(4x+\frac{\pi }{3} \right)
F(π2)=π3F\left(\frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{3}

Correction
F(x)=−14cos⁡(4x+π3)+kF\left(x\right)=-\frac{1}{4} \cos \left(4x+\frac{\pi }{3} \right)+k où k∈Rk\in R
Or F(π2)=π3F\left(\frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{3} équivaut successivement à
−14cos⁡(4×π2+π3)+k=π3-\frac{1}{4} \cos \left(4\times \frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{3} \right)+k=\frac{\pi }{3}
−14cos⁡(7π3)+k=π3-\frac{1}{4} \cos \left(\frac{7\pi }{3} \right)+k=\frac{\pi }{3}
−14×12+k=π3-\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} +k=\frac{\pi }{3}
Donc :
k=18+π3k=\frac{1}{8} +\frac{\pi }{3}

Finalement :
F(x)=−14cos⁡(4x+π3)+18+π3F\left(x\right)=-\frac{1}{4} \cos \left(4x+\frac{\pi }{3} \right)+\frac{1}{8} +\frac{\pi }{3}
Question 6

f(x)=4x+3f\left(x\right)=\frac{4}{x+3}
F(−2)=3F\left(-2\right)=3

Correction
On reconnait une forme u′u\frac{u'}{u}
Commençons par calculer les primitives de ff
Or F(−2)=3F\left(-2\right)=3 équivaut successivement à
4ln⁡(−2+3)+k=34\ln \left(-2+3\right)+k=3
4ln⁡(1)+k=34\ln \left(1\right)+k=3
k=3k=3

Finalement :
F(x)=4ln⁡(x+3)+3F\left(x\right)=4\ln \left(x+3\right)+3