Primitives et calculs d'intégrales

Primitives de la forme cos⁡(ax+b)\cos(ax+b) et sin⁡(ax+b)\sin(ax+b) - Exercice 1

10 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.
Question 1
 Si vous rencontrez des difficulteˊs, n’heˊsitez pas aˋ reprendre la videˊo sur cette notion . \red{\text{ Si vous rencontrez des difficultés, n'hésitez pas à reprendre la vidéo sur cette notion . }}

f(x)=2cos⁡(4x)−3sin⁡(2x)f\left(x\right)=2\cos \left(4x\right)-3\sin \left(2x\right)

Correction
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left(ax+b\right) est −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left(ax+b\right) est 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a} \sin \left(ax+b\right)
    • F(x)=12sin⁡(4x)+32cos⁡(2x)+kF\left(x\right)=\frac{1}{2} \sin \left(4x\right)+\frac{3}{2} \cos \left(2x\right)+k
    où k∈Rk\in \mathbb{R}
    Question 2

    f(x)=3cos⁡(−x+π3)f\left(x\right)=3\cos \left(-x+\frac{\pi }{3} \right)

    Correction
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left(ax+b\right) est −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left(ax+b\right) est 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a} \sin \left(ax+b\right)
    • F(x)=−3sin⁡(−x+π3)+kF\left(x\right)=-3\sin \left(-x+\frac{\pi }{3} \right)+k
    où k∈Rk\in \mathbb{R}
    Question 3

    f(x)=2sin⁡(−3x+π4)f\left(x\right)=2\sin \left(-3x+\frac{\pi }{4} \right)

    Correction
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left(ax+b\right) est −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left(ax+b\right) est 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a} \sin \left(ax+b\right)
    • F(x)=23cos⁡(−3x+π4)+kF\left(x\right)=\frac{2}{3} \cos \left(-3x+\frac{\pi }{4} \right)+k
    où k∈Rk\in \mathbb{R}
    Question 4

    f(x)=−sin⁡(−π2x+π4)f\left(x\right)=-\sin \left(-\frac{\pi }{2} x+\frac{\pi }{4} \right)

    Correction
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left(ax+b\right) est −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left(ax+b\right) est 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a} \sin \left(ax+b\right)
    • F(x)=−−1(−π2)cos⁡(−π2x+π4)+kF\left(x\right)=-\frac{-1}{\left(-\frac{\pi }{2} \right)} \cos \left(-\frac{\pi }{2} x+\frac{\pi }{4} \right)+k où k∈Rk\in \mathbb{R}
    Finalement :
    F(x)=−2πcos⁡(−π2x+π4)+kF\left(x\right)=-\frac{2}{\pi } \cos \left(-\frac{\pi }{2} x+\frac{\pi }{4} \right)+k
    où k∈Rk\in \mathbb{R}
    Question 5

    f(x)=4cos⁡(2π3x+1)f\left(x\right)=4\cos \left(\frac{2\pi }{3} x+1\right)

    Correction
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left(ax+b\right) est −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left(ax+b\right) est 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a} \sin \left(ax+b\right)
    • F(x)=4(2π3)sin⁡(2π3x+1)+kF\left(x\right)=\frac{4}{\left(\frac{2\pi }{3} \right)} \sin \left(\frac{2\pi }{3} x+1\right)+k où k∈Rk\in \mathbb{R}
    Finalement :
    F(x)=6πsin⁡(2π3x+1)+kF\left(x\right)=\frac{6}{\pi } \sin \left(\frac{2\pi }{3} x+1\right)+k
    où k∈Rk\in \mathbb{R}