Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Exercices Types - Exercice 1

20 min
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Dans un repère orthonormé (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) , on donne les points A(−2;3)A\left(-2;3\right) , B(−1;−2)B\left(-1;-2\right) , C(8;0)C\left(8;0\right) et D(7;5)D\left(7;5\right).
Question 1

Faire une figure.

Correction
Question 2

Calculer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC}.

Correction
  • AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(−1−(−2)−2−3)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1-\left(-2\right)} \\ {-2-3} \end{array}\right) d'où :
    AB→(1−5)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-5} \end{array}\right)
  • DC→(xC−xDyC−yD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{D}} \\ {y_{C}-y_{D}} \end{array}\right) ainsi DC→(8−70−5)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {8-7} \\ {0-5} \end{array}\right) d'où :
    DC→(1−5)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-5} \end{array}\right)
    • Question 3

    Que peut-on en déduire? justifier.

    Correction
    Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et quatre points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) ; B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right) ; C(xC;yC)C\left(x_{C} ;y_{C} \right) et D(xD;yD)D\left(x_{D} ;y_{D} \right)
    • Le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Autrement dit, il faut vérifier que deux vecteurs opposées soient égaux.
    Comme AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} alors le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
    Question 4

    Calculer les longueurs ACAC et BDBD.

    Correction
    Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
    • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
    D'une part :
    AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    AC=(8−(−2))2+(0−3)2AC=\sqrt{\left(8-\left(-2\right) \right)^{2} +\left(0-3 \right)^{2} }
    AC=102+32AC=\sqrt{10^{2} +3^{2} }
    AC=109AC=\sqrt{109 }

    D'autre part :
    BD=(xD−xB)2+(yD−yB)2BD=\sqrt{\left(x_{D} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{D} -y_{B} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    BD=(7−(−1))2+(5−(−2))2BD=\sqrt{\left(7-\left(-1\right) \right)^{2} +\left(5-\left(-2\right)\right)^{2} }
    BD=82+72BD=\sqrt{8^{2} +7^{2} }
    BD=113BD=\sqrt{113 }
    Question 5

    Calculer les coordonnées du point EE tel que AE→=DB→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DB}

    Correction
    Notons E(x;y)E\left(x;y \right) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs AE→\overrightarrow{AE} et DB→\overrightarrow{DB}.
    AE→(xE−xAyE−yA)\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E}-x_{A}} \\ {y_{E}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AE→(x−(−2)y−3)\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x-\left(-2\right)} \\ {y-3} \end{array}\right) d'où : AE→(x+2y−3)\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x+2} \\ {y-3} \end{array}\right)
    DB→(xB−xDyB−yD)\overrightarrow{DB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{D}} \\ {y_{B}-y_{D}} \end{array}\right) ainsi DB→(−1−7−2−5)\overrightarrow{DB} \left(\begin{array}{c} {-1-7} \\ {-2-5} \end{array}\right) d'où : DB→(−8−7)\overrightarrow{DB} \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {-7} \end{array}\right)
    Or nous savons que : AE→=DB→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DB}.
    Il vient alors que :
    (x+2y−3)=(−8−7)\left(\begin{array}{c} {x+2} \\ {y-3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-8} \\ {-7} \end{array}\right)
    On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
    {x+2=−8y−3=−7\left\{\begin{array}{ccccccc} {x+2} & {=} & {-8} \\ {y-3} & {=} & {-7} \end{array}\right.
    Ainsi :
    {x=−8−2y=−7+3\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-8-2} \\ {y} & {=} & {-7+3} \end{array}\right.
    {x=−10y=−4\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-10} \\ {y} & {=} & {-4} \end{array}\right.

    Les coordonnées du point EE sont alors E(−10;−4)E\left(-10;-4\right)