La bonne réponse est d.

si $\overrightarrow{n_{1} } $ et $\overrightarrow{n_{2} } $ sont colinéaires alors $\left(P_{1} \right)$ et $\left(P_{2} \right)$ sont parallèles.

si $\overrightarrow{n_{1} } $ et $\overrightarrow{n_{2} } $ ne sont pas colinéaires alors $\left(P_{1} \right)$ et $\left(P_{2} \right)$ ne sont pas parallèles. Cela signifie donc que les plans sont sécants.

Soient $\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur normal de $P$.
Appelons $P'$ le plan passant par $A$ et parallèle à $P$.
Notons $\overrightarrow{n_{2} }$ un vecteur normal de $P'$.
Si $\overrightarrow{n_{1} } $ et $\overrightarrow{n_{2} } $ sont colinéaires alors $\left(P \right)$ et $\left(P' \right)$ sont parallèles. Nous connaissons $\vec{n_{1} }$ et nous choisissons alors $\overrightarrow{n_{2} } =\overrightarrow{n_{1} }$.
Le plan $P'$ s'écrira alors : $2x-3y+z+d=0$
Or le point $A\left(2; -1; 3\right)$ appartient au plan $P'$, il vient alors que :
$2x_{A}-3y_{A}+z_{A}+d=0$ équivaut successivement à :
$2\times2-3\times\left(-1\right)+3+d=0$ d'où : $d=-10$
Finalement :
Une équation cartésienne du plan passant par $A\left(2; -1; 3\right)$ et parallèle à $P$ est :

$2x-3y+z-10=0$

Sujet inédit 6

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