La bonne réponse est b
On munit l'espace du repère orthonormé $(A ; \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E})$.

Si $\overrightarrow{AM} =\red{x}\overrightarrow{AB} +\blue{y}\overrightarrow{AD} +\purple{z}\overrightarrow{AE}$, alors les coordonnées de $M$ dans le repère $(A ; \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E})$ sont $\left(\red{x};\blue{y};\purple{z}\right)$.

$A$ est l'origine du repère, ainsi $A\left(0;0;0\right)$.

$\overrightarrow{AB} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{0}\overrightarrow{AE}$ donc $B\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)$

$\overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$ donc $G\left(\red{1};\blue{1};\purple{1}\right)$

$\overrightarrow{AH} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$ donc $H\left(\red{0};\blue{1};\purple{1}\right)$

Il en résulte donc que : $\overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{BH}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1 \\ 1\end{array}\right)$.
Les réponses a et c sont fausses.
$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BH}=1\times\left(-1\right)+1\times1+1\times1$

$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BH}=1\ne0$

Les droites $\left(AG\right)$ et $\left(BH\right)$ ne sont donc pas orthogonales, et a fortiori pas perpendiculaires.
La réponse b est juste et la réponse d est fausse.
Donnons des représentations paramétriques des droites $\left(AG\right)$ et $\left(BH\right)$ :
$\left(AG\right):\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t \\ z=t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$ et $\left(BH\right):\left\{\begin{array}{l}x=1-t' \\ y=t' \\ z=t'\end{array}, t' \in \mathbb{R}\right.$
Vérifions si les droites $\left(AG\right)$ et $\left(BH\right)$ sont sécantes :
$\left\{\begin{array}{l}t=1-t' \\ t=t' \\ t=t'\end{array}\right.$ équivaut à $\left\{\begin{array}{l}t'=1-t' \\ t=t'\end{array}\right.$, c'est-à-dire $t=t'=\frac{1}{2}$.
Les droites $\left(AG\right)$ et $\left(BH\right)$ sont sécantes au point de coordonnées $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, qui est le centre du cube. Elles sont donc coplanaires.

$\left(AG\right)$ et $\left(BH\right)$ sont sécantes mais pas perpendiculaires

Astuce concours : les quatre grandes diagonales d'un cube se coupent toutes en son centre. Elles sont donc toujours sécantes deux à deux.

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