La bonne réponse est d
C'est une question qui demande beaucoup de calculs.

Dans un premier temps, nous allons déterminer l'équation cartésienne du plan $(S A B)$.

On déterminera ensuite une droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan $(S A B)$ passant par le point $C$.

Enfin, nous déterminerons les coordonnées du point d'intersection entre la droite $\mathscr{D}$ et le plan $(S A B)$.

On munit l'espace du repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O S})$.
Nous allons donner les cordonnées des points $S$ ; $A$ et $B$ dans le $(O ; \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O S})$.

On considère le repère $\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right)$. Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point $M$ il faut l'exprimer le point $M$ avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si $\overrightarrow{AM} =\red{x}\overrightarrow{AB} +\blue{y}\overrightarrow{AC} +\purple{z}\overrightarrow{AD} $ alors les coordonnées de $M$ sont $\left(\red{x};\blue{y};\purple{z}\right)$

$O$ est l'origine du repère ainsi $O\left(0;0;0\right)$

$\overrightarrow{OS} =\red{0}\overrightarrow{OA} +\blue{0}\overrightarrow{OB} +\purple{1}\overrightarrow{OS} $ donc les coordonnées de $S$ sont $\left(\red{0};\blue{0};\purple{1}\right)$

$\overrightarrow{OB} =\red{0}\overrightarrow{OA} +\blue{1}\overrightarrow{OB} +\purple{0}\overrightarrow{OS} $ donc les coordonnées de $B$ sont $\left(\red{0};\blue{1};\purple{0}\right)$

$\overrightarrow{OA} =\red{1}\overrightarrow{OA} +\blue{0}\overrightarrow{OB} +\purple{0}\overrightarrow{OS} $ donc les coordonnées de $A$ sont $\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)$

Il en résulte donc que : $\overrightarrow{SA}\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{SB}\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ .
Déterminons maintenant un vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c\end{array}\right)$ au plan $(S A B)$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels non tous nuls. Les vecteurs $\overrightarrow{SA}$ et $\overrightarrow{SB}$ ne sont pas colinéires.
Il en résulte donc que : $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{SA}=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{SB}=0$ car $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(S A B)$ . Il vient alors que :
$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{SA}=0$ nous donne $a-c=0$
$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{SB}=0$ nous donne $b-c=0$
Cela nous donne le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a-c} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {0} \end{array}\right. $ d'où $\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {c} \\ {b} & {=} & {c} \end{array}\right. $
On rappelle que $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c\end{array}\right)$ et donc ici on peut écrire $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}c \\ c \\ c\end{array}\right)$.
Nous savons que $c$ est un réel non nul et on fixe alors par exemple $c=1$ ce qui permet de donner un vecteur normal au plan $(S A B)$ qui est $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ .
Le point $A\left(\red{1};\blue{0};\purple{0}\right)\in(S A B)$, on peut donc donner dès à présent l'équation cartésienne du plan $(S A B)$.
On obtient ainsi : $x+y+z-1=0$
Maintenant déterminons une droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan $(S A B)$ passant par le point $C$ .

$\overrightarrow{OC} =\red{-1}\overrightarrow{OA} +\blue{0}\overrightarrow{OB} +\purple{0}\overrightarrow{OS} $ donc les coordonnées de $C$ sont $\left(\red{-1};\blue{0};\purple{0}\right)$

Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ est colinéaire à un vecteur normal au plan $(S A B)$ et le point $C\left(\red{-1};\blue{0};\purple{0}\right)\in \mathscr{D}$.
On a donc une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$, d'où :
$\mathscr{D}:\left\{\begin{array}{l}x=t-1 \\ y=t \\ z=t\end{array} \quad, t \in \mathbb{R}\right.$
En effet, les coordonnées du projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(S A B)$ est le point d'intersection entre la droite $\mathscr{D}$ et le plan $(S A B)$ .
$\left((S A B)\cap \mathscr{D} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+y+z-1=0} \\ {x=t-1} \\ {y=t} \\ {z=t} \end{array}\right. $où $t\in \mathbb{R}$
On remplace la valeur de $x,y$ et $z$ dans le plan $\left(SAB \right)$
$\left((S A B)\cap \mathscr{D} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t-1+t+t-1=0} \\ {x=t-1} \\ {y=t} \\ {z=t} \end{array}\right. $où $t\in \mathbb{R}$
$\left((S A B)\cap \mathscr{D} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {3t-2=0} \\ {x=t-1} \\ {y=t} \\ {z=t} \end{array}\right. $où $t\in \mathbb{R}$
$\left((S A B)\cap \mathscr{D} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=\frac{2}{3}} \\ {x=t-1} \\ {y=t} \\ {z=t} \end{array}\right. $où $t\in \mathbb{R}$
$\left((S A B)\cap \mathscr{D} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=\frac{2}{3}} \\ {x=\frac{2}{3}-1} \\ {y=\frac{2}{3}} \\ {z=\frac{2}{3}} \end{array}\right. $où $t\in \mathbb{R}$

$\left((S A B)\cap \mathscr{D} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=\frac{2}{3}} \\ {x=-\frac{1}{3}} \\ {y=\frac{2}{3}} \\ {z=\frac{2}{3}} \end{array}\right. $où $t\in \mathbb{R}$

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