La bonne réponse est b
$\purple{\text{Rédaction type pour la loi binomiale :}}$

On considère l'expérience ci-dessous $\red{\text{à deux issues :}}$

On appelle $\red{\text{succès}}$ « tirer une boule blanche » avec la probabilité $p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

On appelle $\red{\text{échec}}$ « tirer une boule noire » avec la probabilité $1-p=\frac{2}{3} $

On répète $3$ fois de suite cette expérience de Bernoulli de $\red{\text{façon indépendante}}$.
On est donc en présence $\red{\text{d'un schéma de Bernoulli.}}$
$X$ est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire une boule blanche.
$X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=3$ et $p=\frac{1}{3} $
On note alors $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\left(3;\frac{1}{3}\right)$

Il nous faut calculer $P\left(X\ge2\right)$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\left(n;p\right)$ alors, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, on a :

$P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k} $

Ainsi :
$P\left(X\ge2\right)=P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)$
$P\left(X\ge2\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{2} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{3-2} + \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{3} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{3-3}$
$P\left(X\ge2\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{2} \times \left(\frac{2}{3} \right) + \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{3} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{0}$
$P\left(X\ge2\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{2} \times \left(\frac{2}{3} \right) + \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{3} \times 1$
$P\left(X\ge2\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\times \frac{1}{9} \times \left(\frac{2}{3} \right) + \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)\times \frac{1}{27} \times 1$

$\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}$

Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{3!}{2!\left(3-2\right)!}=3$ et $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{3!}{3!\left(3-3\right)!}=1$
$P\left(X\ge2\right)=3\times \frac{1}{9} \times \left(\frac{2}{3} \right) + 1\times \frac{1}{27} \times 1$
$P\left(X\ge2\right)=\frac{2}{9} + \frac{1}{27}$
$P\left(X\ge2\right)=\frac{6}{27} + \frac{1}{27}$
Finalement :

$P\left(X\ge2\right)=\frac{7}{27}$

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