La bonne réponse est d.

La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)$

$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{1}{e^0}+\frac{1}{e^1}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}={\left(\frac{1}{e}\right)}^0+{\left(\frac{1}{e}\right)}^1+{\left(\frac{1}{e}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{1}{e}\right)}^n$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}={\left(e^{-1}\right)}^0+{\left(e^{-1}\right)}^1+{\left(e^{-1}\right)}^2+\cdots +{\left(e^{-1}\right)}^n$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}={\left(e^{-1}\right)}^0+{\left(e^{-1}\right)}^1+{\left(e^{-1}\right)}^2+\cdots +{\left(e^{-1}\right)}^n$
Nous avons $n+1$ termes et le premier terme ${\left(e^{-1}\right)}^0$ . Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q=e^{-1}$ .
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}={\left(e^{-1}\right)}^0\times \frac{1-{\left(e^{-1}\right)}^{n+1}}{1-e^{-1}}$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=1\times \frac{1-{\left(e^{-1}\right)}^{n+1}}{1-e^{-1}}$ . On rappelle que : ${\left(e^{-1}\right)}^0=1$

$\left(e^{a} \right)^{b} =e^{a\times b} $

$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{1-e^{-1\times \left(n+1\right)}}{1-e^{-1}}$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{1-e^{-n-1}}{1-e^{-1}}$

$e^{-a} =\frac{1}{e^{a} } $

$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{1-\frac{1}{e^{n+1}}}{1-\frac{1}{e}}$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{e\left(1-\frac{1}{e^{n+1}}\right)}{e\left(1-\frac{1}{e}\right)}$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{e-\frac{e}{e^{n+1}}}{e-1}$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{e-e^{1-\left(n+1\right)}}{e-1}$
$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{e-e^{1-n-1}}{e-1}$
Finalement :

$1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots +\frac{1}{e^n}=\frac{e-e^{-n}}{e-1}$

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