La bonne réponse est b.
$e^{2x} -1=6e^{-2x}$

$e^{-a}=\frac{1}{e^{a}}$

$e^{2x} -1=\frac{6}{e^{2x} }$
$\frac{e^{2x} \times e^{2x} }{e^{2x} } -\frac{1\times e^{2x} }{e^{2x} } =\frac{6}{e^{2x} }$
$\frac{\left(e^{2x} \right)^{2} }{e^{2x} } -\frac{e^{2x} }{e^{2x} } =\frac{6}{e^{2x} }$
$\frac{\left(e^{2x} \right)^{2} -e^{2x} }{e^{2x} } =\frac{6}{e^{2x} }$

$\frac{A}{C} =\frac{B}{C} \Leftrightarrow A=B$

$\left(e^{2x} \right)^{2} -e^{2x} =6$
$\left(e^{2x} \right)^{2} -e^{2x} -6=0$
On va effectuer un changement de variable. On pose $X=e^{2x} $ .
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {X^{2} -X-6=0} \\ {X=e^{2x} } \end{array}\right. $.
On utilise le discriminant

$\Delta =25$

.
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $X_{1} $ et $X_{2} $ tels que
$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} $ et $X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} $
$X_{1} =-2$ et $X_{2} =3$.
Or nous avons posé $X=e^{2x} $, il en résulte que
$e^{2x} =3$ ou encore $e^{2x} =-2$

$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$ $e^{2x} =3$. Il vient alors que $e^{2x} =3\Leftrightarrow 2x =\ln \left(3\right) \Leftrightarrow $

$x=\frac{\ln \left(3\right)}{2}$

$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$ $e^{2x} =-2$. Or $e^{2x} >0$ , donc l'équation $e^{2x} =-2$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $e^{2x} -1=6e^{-2x}$ est

$S=\left\{\frac{\ln \left(3\right)}{2}\right\}$

Or : $\ln \left(\sqrt{2} \right)=\frac{1}{2} \ln \left(2\right)=\frac{\ln \left(2\right)}{2}$
La fonction $x\mapsto \ln \left(x\right)$ est une fonction strictement croissante donc $\ln \left(2\right)<\ln \left(3\right)$ et de ce fait $\frac{\ln \left(2\right)}{2} <\frac{\ln \left(3\right)}{2} $ .
Il en résulte donc que l'équation $e^{2x} -1=6e^{-2x}$ admet une solution strictement supérieure à $\ln \left(\sqrt{2} \right)$ .

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