Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

On sait que $$C$$ est le milieu de $$[BD].$$ Par conséquent on a : $$BC=CD=3\;cm.$$
Dans le triangle $$ABC$$, le plus grand côté est $$AC=5$$ cm .

Calculons d'une part :

$$AC^{2} =5^{2}$$

Calculons d'autre part :

$$AB^{2} +BC^{2} =3^{2} +4^{2}$$
$$AB^{2} +BC^{2} =9+16$$

Or $${\color{blue}AC^{2}=AB^{2} +BC^{2}}$$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$B$$ .

On à démontré à la question précédente que le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$B$$ d'où : $$\widehat{ABC}=90\degree.$$
De plus on sait que les points $$A,$$ $$B$$ et $$E$$ sont alignés. On peut donc en déduire que $$\widehat{ABE}=180\degree.$$
Par conséquent $$\widehat{DBE}=180\degree-90\degree=90\degree.$$
On peut donc conclure que le triangle BDE est rectangle en B.

Comme le triangle $$DBE$$ est rectangle en $$B$$ avec $$DB = 6$$ cm et $$BE = 7$$ cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$$DE^{2} =DB^{2} +BE^{2}$$
donc $$DE^{2} =6^{2} +7^{2}$$
$$DE^{2} =36+49$$
$$DE^{2} =85$$ . Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $$DE$$.
D'où : $$DE=\sqrt{85}$$
Ainsi :
La mesure de $$DE$$ est donc de $$9,2$$ cm . (Arrondi au dixième près.)