Équations

Exercices types : 2ème partie - Exercice 2

12 min
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COMPETENCES:
1°) Résoudre des problèmes, analyser et exploiter ses erreurs.
2°) Savoir résoudre une équation et calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
Question 1
On propose deux programmes de calculs ci-dessous :

Exprimer en fonction de xx le nombre NN obtenu à l'issue du programme de calcul AA.

Correction
1°) Déterminons le résultat obtenue en fonction de x pour le programme A :
première étape :
Le nombre choisi est x.\color{blue}x.
deuxième étape :
On ajoute 11 à ce nombre. C'est-à-dire additionner 11 à xx.
On obtient donc       \;\;\;\color{red}\Longrightarrow       \;\;\; x+1.\color{blue}x+1.
troisième étape :
On doit ici multiplier le résultat obtenu par 5-5, c'est-à-dire : 5×(x+1)-5\times(x+1)
Ici il faut bien faire attention de mettre (x+1) entre parenthèses.
En effet : 5×(x+1)5×x+1 \color{red}-5\times(x+1)\ne -5\times{x}+1
5×(x+1)=-5\times(x+1)=
5×x5×1=-5\times{x}-5\times{1}=
5x5-5x-5
quatrième étape :
On soustrait 44 à ce nombre. C'est-à-dire soustraire 44 à 5x5-5x-5.
(5x5)4=(-5x-5)-4=
5x54=-5x-5-4=
5x9-5x-9
On obtient donc   \;\color{red}\Longrightarrow   \; 5x9.\color{blue}-5x-9.
On peut donc conclure que N=5x9\color{blue}\boxed{N=-5x-9}
Question 2

Exprimer en fonction de xx le nombre MM obtenu à l'issue du programme de calcul BB.

Correction
1°) Déterminons le résultat obtenue en fonction de x pour le programme B :
première étape :
Le nombre choisi est x.\color{blue}x.
deuxième étape :
On soustrait 22 à ce nombre. C'est-à-dire soustraire 22 à xx.
On obtient donc       \;\;\;\color{red}\Longrightarrow       \;\;\; x2.\color{blue}x-2.
troisième étape :
On doit ici multiplier le résultat obtenu par 44, c'est-à-dire : 4×(x2)4\times(x-2)
Ici il faut bien faire attention de mettre (x-2) entre parenthèses.
En effet : 4×(x2)4×x2 \color{red}4\times(x-2)\ne 4\times{x}-2
4×(x2)=4\times(x-2)=
4×x+4×(2)=4\times{x}+4\times(-2)=
4x84x-8
quatrième étape :
On ajoute 11 à ce nombre. C'est-à-dire additionner 11 à 4x84x-8.
(4x8)+1=(4x-8)+1=
4x8+1=4x-8+1=
4x74x-7
On obtient donc       \;\;\;\color{red}\Rightarrow   \; 4x7.\color{blue}4x-7.
On peut donc conclure que M=4x7\color{blue}\boxed{M=4x-7}
Question 3

Pour quel nombre choisi au départ le résultat obtenu au programme AA est égal au résultat obtenu au programme BB.

Correction
Avoir le même résultat à l'issue des deux programmes signifie que : N=M.\color{blue}N=M.
Or N=5x9N=-5x-9    \;\;et      \;\;\; M=4x7M=4x-7. Par conséquent on doit résoudre l'équation suivante :
5x9=4x7-5x-9=4x-7
  • On doit dans un premier temps rassembler les termes en xx dans le membre de gauche .

5x94x=4x74x-5x-9{\color{blue}-4x}=4x-7{\color{blue}-4x}. On soustrait 4x{\color{blue}4x} à chaque membre .
9x9=7-9x-9=-7
9x9+9=7+9-9x-9{\color{blue}+9}=-7{\color{blue}+9}. On additionne 9{\color{blue}9} à chaque membre .
9x=2-9x=2
9x9=29\frac{-9x}{\color{blue}-9}=\frac{2}{\color{blue}-9} On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 9{\color{blue}-9}.

Ainsi :
x=29x=-\frac{2}{9}

On peut donc conclure que le nombre à choisir pour obtenir le même résultat à l'issue des 2 programmes est 29.{\color{red}-\frac{2}{9}.}