Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$A = {\color{brown}( 2x + 3 )^2} + {\color{green}( x -7 )( 2x + 3 )}$$
$$A={\color{brown}\left((2x)^2+2\times{2x}\times3+3^2\right)}+{\color{green}( x -7 )( 2x + 3 )}.$$
$$A={\color{brown}4x^2+12x+9}+\color{green}x\times{2x}+x\times{3}-7\times{2x}-7\times{3}$$
$$A={\color{brown}4x^2+12x+9}+\color{green}2x^2+3x-14x-21$$
$$A=4x^2+2x^2+12x+3x-14x+9-21$$
$$\color{blue}\boxed{A=6x^2+x-12}$$

On considère l’expression $$A = ( 2x + 3 )^2 + ( x -7 )( 2x + 3 )$$
$$A=(2x+3){\color{blue}(2x+3)}+(x-7){\color{blue}(2x+3)}$$
Ici $$A$$ est de la forme $$\color{red}ka+kb$$, $$\;$$avec avec comme facteur en commun $$\color{blue}k=2x+3$$,$$\;\;$$$$a=2x+3$$ $$\;\;\;$$et$$\;\;\;$$$$b=x-7$$
Or$$\;\;\;$$ $${\color{red}ka +kb = k(a +b)}$$, alors :
$$A = ( 2x + 3 ) ( 2x +3+x-7 )$$
Donc $${\color{blue}\boxed{A=(2x+3)(3x-4)}}$$

$$(2x+3)(3x-4)=0$$
$$(2x+3)(3x-4)=0$$ $$\;\;\;$$Si et seulement si : $$\;\;\;\;$$$$2x+3 = 0$$$$\;\;\;\;\;$$ ou :$$\;\;\;\;\;$$ $$3x-4 =0$$
Ainsi on a :
$${2x}+3{\color{blue}{-3}} ={0}{\color{blue}{-3}}$$ $$\;$$ On soustrait $${\color{blue}3}$$ à chaque membre.
$$2x=-3$$
$$\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{-3}{\color{blue}2}$$ $$\;$$On a divisé par $${\color{blue}2}$$ chaque membre.
$$\boxed{x=-\frac{3}{2}}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\textbf{\red{OU}}$$
$$3x-4{\color{blue}{+4}} =0{\color{blue}{+4}}$$ $$\;$$ On a additionne $${\color{blue}4}$$ à chaque membre.
$$3x=4$$
$$\frac{3x}{\color{blue}3}=\frac{4}{\color{blue}3}$$ $$\;\;\;$$On a divisé par $${\color{blue}3}$$ chaque membre.
$$\boxed{x=\frac{4}{3}}$$
L'ensemble des solutions est $$S=\left\{-\frac{3}{2}\;;\;\frac{4}{3}\right\}$$