Fiche de cours sur la factorisation

Factorisation

Définition

  • Factoriser une expression littérale c'est l'écrire sous la forme d'un produit : on parle de factorisation.
  • Si l’expression contient un  facteur  commun{\color{red}\bf{un\;facteur\;commun}}, alors on utilise l'une des formules de factorisation : ka + kb = k(a+b)      ou        ka – kb = k(a – b)      {\text{\color{red}ka + kb = k(a+b)\;\;\;ou\;\;\;\;ka – kb = k(a – b)}\Rightarrow\;\;\;} Ici k{\color{red}\bf{k}} représente le facteur en commun.

Méthodes

Recherche du facteur commun

Propriété
  • Pour factoriser une expression, il faut chercher le facteur commun dans chaque terme de l'expression.
Exemple 1 :\pink{\text{Exemple 1 :}} Factoriser l’expression A=4x+4yA=4x+4y A=4×x+4×y    A= {\color{blue}4}\times x+{\color{blue}4}\times y\;\; Ici on décompose l'expression afin de faire apparaître un facteur en commun. Ici AA est de la forme est de la forme ka+kb\color{red}ka+kb, avec comme facteur en commun : k=4\color{blue}k=4,    \;\; avec a=xa=x       \;\;\;et      \;\;\;b=y.b=y. Or      \;\;\; ka+kb=k(a+b){\color{red}ka + kb = k(a + b)} : Ainsi :
A=4(x+y)A={\color{blue}4}\left(x+y\right)
Exemple 2 :\pink{\text{Exemple 2 :}} Factoriser l’expression B(x)=5x24xB\left(x\right)=5x^{2}-4x B=5×x×x4×x    B= 5\times{\color{blue}x}\times x-4\times{\color{blue}x}\;\; Ici on décompose l'expression afin de faire apparaître un facteur en commun. Ici BB est de la forme est de la forme kakb\color{red}ka-kb, avec comme facteur en commun : k=x\color{blue}k=x,    \;\; avec a=5xa=5x       \;\;\;et      \;\;\;b=4.b=4. Or      \;\;\; kakb=k(ab){\color{red}ka - kb = k(a - b)} : Ainsi :
B=x(5x4)B={\color{blue}x}\left(5x-4\right)
Exemple 3 :\pink{\text{Exemple 3 :}} Factoriser l’expression C(x)=(2x+6)(3x7)+(4x)(2x+6)C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(3x-7\right)+\left(4-x\right)\left(2x+6\right) C(x)=(2x+6)(3x7)+(4x)(2x+6)C\left(x\right)={\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\left(3x-7\right)+\left(4-x\right){\color{blue}{\left(2x+6\right)}} Ici on décompose l'expression afin de faire apparaître un facteur en commun. Ici CC est de la forme est de la forme ka+kb\color{red}ka+kb, avec comme facteur en commun : k=2x+6\color{blue}k=2x+6,    \;\; avec a=3x7a=3x-7       \;\;\;et      \;\;\;b=4x.b=4-x. Or      \;\;\; ka+kb=k(a+b){\color{red}ka + kb = k(a + b)} : Donc : C(x)=(2x+6)(3x7+4x)C(x)={\color{blue}{(2x+6)}}(3x-7+4-x) Ainsi :
C(x)=(2x+6)(2x3)C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(2x-3\right)