Polynésie 26 juin 2026 - Exercice 1

20 min
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On donne la figure ci-dessous.
BGFBGF est un triangle rectangle en GG.
Voici les informations dont on dispose :
AC=5AC=5 cm ; BC=4BC=4 cm ; AB=3AB=3 cm ; BG=2BG=2 cm ; BCF^=74∘\widehat{BCF}=74^{\circ}.
Le but de cet exercice est de déterminer si les points AA, BB et GG sont alignés ou non.
Question 1
On se place dans le triangle CBFCBF.

Justifier que l'angle CFB^\widehat{CFB} mesure 74∘74^{\circ}.

Correction
  • Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.
D'après le codage de la figure, BC=BF=4BC=BF=4 cm : le triangle CBFCBF est isocèle en BB.
Ses deux angles à la base BCF^\widehat{BCF} et CFB^\widehat{CFB} ont donc la même mesure.
CFB^=BCF^=74∘\widehat{CFB}=\widehat{BCF}=74^{\circ}
Question 2

Calculer la mesure de l'angle CBF^\widehat{CBF}.

Correction
  • Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180∘\color{red}180^{\circ}.
Dans le triangle CBFCBF, on a :
CBF^+BCF^+CFB^=180∘\widehat{CBF}+\widehat{BCF}+\widehat{CFB}=180^{\circ}
CBF^+74∘+74∘=180∘\widehat{CBF}+74^{\circ}+74^{\circ}=180^{\circ}
CBF^=180∘−74∘−74∘\widehat{CBF}=180^{\circ}-74^{\circ}-74^{\circ}
CBF^=32∘\widehat{CBF}=32^{\circ}
L'angle CBF^\widehat{CBF} mesure 32∘32^{\circ}.
Question 3

Démontrer que le triangle ABCABC est un triangle rectangle.

Correction
Dans le triangle ABCABC, le plus grand côté est AC=5AC=5 cm.
  • Calculons d'une part :
    • AC2=52AC^{2}=5^{2}
    AC2=25AC^{2}=25
  • Calculons d'autre part :
    • AB2+BC2=32+42AB^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}
    AB2+BC2=9+16AB^{2}+BC^{2}=9+16
    AB2+BC2=25AB^{2}+BC^{2}=25

    Or AC2=AB2+BC2{\color{blue}AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}}
    Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en BB.
    Question 4

    Dans le triangle rectangle BGFBGF, calculer la mesure de l'angle FBG^\widehat{FBG}.

    Correction
    Le triangle BGFBGF est rectangle en GG. Nous connaissons :
  • Le côté adjacent à l'angle B^\widehat{B} dont la mesure est BG=2BG=2 cm.
  • L'hypoténuse BF=4BF=4 cm (codage de la figure).
  • Nous recherchons l'angle B^\widehat{B}.
    • Nous allons donc utiliser le cosinus{\color{blue}\text{cosinus}}.
    cos⁡(FBG^)=coˆteˊ adjacent aˋ l’angle B^hypoteˊnuse\cos\left(\widehat{FBG}\right)=\dfrac{\text{côté adjacent à l'angle }\widehat{B}}{\text{hypoténuse}}
    cos⁡(FBG^)=BGBF\cos\left(\widehat{FBG}\right)=\dfrac{BG}{BF}
    cos⁡(FBG^)=24\cos\left(\widehat{FBG}\right)=\dfrac{2}{4}
    FBG^=cos⁡−1(24)\widehat{FBG}=\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{4}\right) ou encore FBG^=arccos(24)\widehat{FBG}=\text{arccos}\left(\dfrac{2}{4}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    FBG^=60∘\widehat{FBG}=60^{\circ}
    L'angle FBG^\widehat{FBG} mesure 60∘60^{\circ}.
    Question 5

    Les points AA, BB et GG sont-ils alignés ? Justifier la réponse.
    Argumenter la réponse en précisant la démarche.

    Correction
    • Les points AA, BB et GG sont alignés si et seulement si l'angle ABG^\widehat{ABG} est un angle plat, c'est-à-dire s'il mesure 180∘180^{\circ}.
    L'angle ABG^\widehat{ABG} est formé des trois angles ABC^\widehat{ABC}, CBF^\widehat{CBF} et FBG^\widehat{FBG} :
  • ABC^=90∘\widehat{ABC}=90^{\circ} car le triangle ABCABC est rectangle en BB (question 3) ;
  • CBF^=32∘\widehat{CBF}=32^{\circ} (question 2) ;
  • FBG^=60∘\widehat{FBG}=60^{\circ} (question 4).
    • ABG^=ABC^+CBF^+FBG^\widehat{ABG}=\widehat{ABC}+\widehat{CBF}+\widehat{FBG}
    ABG^=90∘+32∘+60∘\widehat{ABG}=90^{\circ}+32^{\circ}+60^{\circ}
    ABG^=182∘\widehat{ABG}=182^{\circ}
    Or 182∘≠180∘182^{\circ}\neq 180^{\circ} : l'angle ABG^\widehat{ABG} n'est pas un angle plat.
    On peut donc conclure que les points AA, BB et GG ne sont pas alignés.

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