Métropole Antilles-Guyane 10 septembre 2026 - Exercice 1

8 min 45
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Pour accéder au point de départ d'une épreuve, les skieurs utilisent un téléphérique dont le schéma ci-dessous représente le déplacement entre les points AA et BB.
La longueur ABAB est égale à 1 6001\,600 m.
L'altitude du point AA est 1 8141\,814 m et celle du point BB est 2 3592\,359 m.
Les points AA et HH sont à la même altitude.
Question 1

Montrer que la différence d'altitude entre les points HH et BB, c'est-à-dire la longueur HBHB, est égale à 545545 m.

Correction
Les points AA et HH sont à la même altitude, 1 8141\,814 m. La longueur HBHB est la différence entre l'altitude du point BB et celle du point HH :
HB=2 359−1 814HB=2\,359-1\,814
HB=545HB=545 m
La différence d'altitude entre les points HH et BB est bien égale à 545545 m.
Question 2

Pour respecter les normes de sécurité du téléphérique, la mesure de l'angle BAH^\widehat{BAH} doit être inférieure à 30∘30^{\circ}.
Cette norme est-elle respectée ?
Détailler la réponse en précisant la démarche.

Correction
Le triangle ABHABH est rectangle en HH. Nous connaissons :
  • Le côté opposé à l'angle A^\widehat{A} dont la mesure est HB=545HB=545 m.
  • L'hypoténuse AB=1 600AB=1\,600 m.
  • Nous recherchons l'angle A^\widehat{A}.
    • Nous allons donc utiliser le sinus{\color{blue}\text{sinus}}.
    sin⁡(BAH^)=coˆteˊ opposeˊ aˋ l’angle A^hypoteˊnuse\sin\left(\widehat{BAH}\right)=\dfrac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{A}}{\text{hypoténuse}}
    sin⁡(BAH^)=HBAB\sin\left(\widehat{BAH}\right)=\dfrac{HB}{AB}
    sin⁡(BAH^)=5451 600\sin\left(\widehat{BAH}\right)=\dfrac{545}{1\,600}
    BAH^=sin⁡−1(5451 600)\widehat{BAH}=\sin^{-1}\left(\dfrac{545}{1\,600}\right) ou encore BAH^=arcsin(5451 600)\widehat{BAH}=\text{arcsin}\left(\dfrac{545}{1\,600}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    BAH^≈19,9∘\widehat{BAH}\approx 19{,}9^{\circ}
    Or 19,9∘<30∘19{,}9^{\circ}\lt 30^{\circ}, on peut donc en déduire que la norme de sécurité est bien respectée.
    Question 3

    La vitesse du téléphérique est égale à 55 m/s.
    Quelle est la durée du trajet entre AA et BB ? Donner le résultat en minutes et secondes.

    Correction
    • dureˊe=distancevitesse\text{durée}=\dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}}
    Le téléphérique parcourt AB=1 600AB=1\,600 m à la vitesse de 55 m/s :
    dureˊe=1 6005\text{durée}=\dfrac{1\,600}{5}
    dureˊe=320\text{durée}=320 s
    Or 320=5×60+20320=5\times 60+20 : 320320 secondes, ce sont 55 minutes et 2020 secondes.
    Le trajet entre AA et BB dure 55 min 2020 s.

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