Trigonométrie dans le triangle rectangle

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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Question 1

La figure ci-dessous représente un cône de révolution de sommet BB et de hauteur [BH][BH]. On donne [BH]=5[BH]=5 cm et ABH^=40\widehat{ABH}=40{}^\circ.

Calculer la longueur AH]|AH].

Correction
Le triangle ABHABH est rectangle en HH. Nous connaissons :
  • La mesure de l'angle B^\widehat{B} qui est de (40)\left(40{}^\circ \right)
  • Le côté adjacent à l'angle B^\widehat{B} qui correspond au segment [BH]\left[BH\right].
  • Nous recherchons le côté opposé qui correspond au segment [AH]\left[AH\right].
  • Nous allons donc utiliser la tangente{\color{blue}\text{tangente}} .
    tan(ABH^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle B^coteˊ adjacent aˋ l’angle B^\tan\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{B}}{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{B}}
    tan(ABH^)=AHBH\tan\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{AH}{BH}
    tan(40)=AH5\tan\left(40{}^\circ \right)=\frac{AH}{5}
  • Ici, nous allons utiliser le produit en croix pour déterminer la mesure du segment [AH]\left[AH\right]
  • AH=5×tan(40)AH=5\times{\tan\left(40{}^\circ \right)}
    AH4,195AH\approx 4,195 cm

    Le segment [AH]\left[AH\right] mesure 4,24,2 cm. ( Arrondi au dixième près).
    Question 2

    Calculer la longueur AB]|AB] en utilisant le cosinus. Donner une valeur arrondie au dixième près.

    Correction
    Le triangle ABHABH est rectangle en HH. Nous connaissons :
  • La mesure de l'angle B^\widehat{B} qui est de (40)\left(40{}^\circ \right)
  • Le côté adjacent à l'angle B^\widehat{B} qui correspond au segment [BH]\left[BH\right].
  • Nous recherchons l'hypothénuse qui correspond au segment [AB]\left[AB\right].
  • Nous allons donc utiliser le cosinus{\color{blue}\text{cosinus}} .
    cos(ABH^)=coteˊ adjacent aˋ l’angle B^hypotheˊnuse\cos\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{B}}{\text{hypothénuse}}
    cos(ABH^)=BHAB\cos\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{BH}{AB}
    cos(40)=5AB\cos\left(40{}^\circ \right)=\frac{5}{AB}
  • Ici, nous allons utiliser le produit en croix pour déterminer la mesure du segment [AB]\left[AB\right]
  • AB=5cos(40)AB=\frac{5}{\cos\left(40{}^\circ \right)}
    AB6,527AB\approx 6,527 cm

    Le segment [AB]\left[AB\right] mesure 6,56,5 cm. ( Arrondi au dixième près).