Trigonométrie dans le triangle rectangle

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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Question 1

La figure ci-dessous représente un cône de révolution de sommet BB et de hauteur [BH][BH]. On donne [BH]=5[BH]=5 cm et ABH^=40∘\widehat{ABH}=40{}^\circ.

Calculer la longueur ∣AH]|AH].

Correction
Le triangle ABHABH est rectangle en HH. Nous connaissons :
  • La mesure de l'angle B^\widehat{B} qui est de (40∘)\left(40{}^\circ \right)
  • Le côté adjacent à l'angle B^\widehat{B} qui correspond au segment [BH]\left[BH\right].
  • Nous recherchons le côté opposé qui correspond au segment [AH]\left[AH\right].
    • Nous allons donc utiliser la tangente{\color{blue}\text{tangente}}.
    tan⁡(ABH^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle B^coteˊ adjacent aˋ l’angle B^\tan\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{B}}{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{B}}
    tan⁡(ABH^)=AHBH\tan\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{AH}{BH}
    tan⁡(40∘)=AH5\tan\left(40{}^\circ \right)=\frac{AH}{5}
  • Ici, nous allons utiliser le produit en croix pour déterminer la mesure du segment [AH]\left[AH\right]
    • AH=5×tan⁡(40∘)AH=5\times{\tan\left(40{}^\circ \right)}
    AH≈4,195AH\approx 4,195 cm

    Le segment [AH]\left[AH\right] mesure 4,24,2 cm. (Arrondi au dixième près).
    Question 2

    Calculer la longueur ∣AB]|AB] en utilisant le cosinus. Donner une valeur arrondie au dixième près.

    Correction
    Le triangle ABHABH est rectangle en HH. Nous connaissons :
  • La mesure de l'angle B^\widehat{B} qui est de (40∘)\left(40{}^\circ \right)
  • Le côté adjacent à l'angle B^\widehat{B} qui correspond au segment [BH]\left[BH\right].
  • Nous recherchons l'hypoténuse qui correspond au segment [AB]\left[AB\right].
    • Nous allons donc utiliser le cosinus{\color{blue}\text{cosinus}}.
    cos⁡(ABH^)=coteˊ adjacent aˋ l’angle B^hypotheˊnuse\cos\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{B}}{\text{hypothénuse}}
    cos⁡(ABH^)=BHAB\cos\left(\widehat{ABH}\right)=\frac{BH}{AB}
    cos⁡(40∘)=5AB\cos\left(40{}^\circ \right)=\frac{5}{AB}
  • Ici, nous allons utiliser le produit en croix pour déterminer la mesure du segment [AB]\left[AB\right]
    • AB=5cos⁡(40∘)AB=\frac{5}{\cos\left(40{}^\circ \right)}
    AB≈6,527AB\approx 6,527 cm

    Le segment [AB]\left[AB\right] mesure 6,56,5 cm. (Arrondi au dixième près).