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Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

11 min
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Question 1
Le triangle IJKIJK est rectangle en II et [IH][IH] est sa hauteur issue de II.
On donne : IJ=2,4IJ = 2,4 cm , JK=6,4JK = 6,4 cm .

Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle IJK^\widehat{IJK}.
On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

Correction
Le triangle IJKIJK est rectangle en II. Nous connaissons :
  • Le côté adjacent à l'angle J^\widehat{J} dont la mesure est IJ=2,4IJ=2,4 cm.
  • L'hypoténuse JK=6,4JK=6,4 cm.

    • Nous allons donc utiliser le cosinus{\color{blue}\text{cosinus}}.
    cos⁡(IJK^)=coteˊ adjacent aˋ l’angle J^hypoteˊnuse\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{J}}{\text{hypoténuse}}
    cos⁡(IJK^)=IJJK\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{IJ}{JK}
    cos⁡(IJK^)=2,46,4\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{2,4}{6,4}       \; \;\;Ici on pense à simplifier la fraction.
    cos⁡(IJK^)=2,4×106,4×10\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{2,4\red{\times10}}{6,4\red{\times10}} On multiplie par 1010 le numérateur et le dénominateur afin de travailler avec des valeurs entières.
    cos⁡(IJK^)=2464\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{24}{64}
    cos⁡(IJK^)=3×88×8\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{3\red{\times8}}{8\red{\times8}}
    cos⁡(IJK^)=3×88×8\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{3\times \cancel{ \color{red}8}}{8\times \cancel{ \color{red}8}}
    cos⁡(IJK^)=38\boxed{\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{3}{8}}
    Question 2

    En déduire une valeur arrondie au dixième près de l'angle IJK^\widehat{IJK}.

    Correction
    A la question précédente, on a démontré que :
    cos⁡(IJK^)=38\cos\left(\widehat{IJK}\right)=\frac{3}{8}, d'où :
    IJK^=cos⁡−1(38)\widehat{IJK}=\cos^{-1}\left(\frac{3}{8}\right) ou encore IJK^=arcos(38)\widehat{IJK}=\text{arcos}\left(\frac{3}{8}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    IJK^=67,97∘\widehat{IJK}=67,97{}^\circ

    La mesure de l'angle IJK^\widehat{IJK} est de 68∘68{}^\circ. (Arrondi au dixième près).
    Question 3

    En utilisant le sinus calculer la mesure au dixième près de l'angle IKJ^\widehat{IKJ}.

    Correction
    Le triangle IJKIJK est rectangle en II. Nous connaissons :
  • Le côté opposé à l'angle K^\widehat{K} dont la mesure est IJ=2,4IJ=2,4 cm.
  • L'hypoténuse JK=6,4JK=6,4 cm.

    • Nous allons donc utiliser le sinus{\color{blue}\text{sinus}}.
    sin⁡(IKJ^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle K^hypoteˊnuse\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{K}}{\text{hypoténuse}}
    sin⁡(IKJ^)=IJJK\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{IJ}{JK}
    sin⁡(IKJ^)=2,46,4\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{2,4}{6,4}       \; \;\;Ici on pense à simplifier la fraction.
    sin⁡(IKJ^)=2,4×106,4×10\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{2,4\red{\times10}}{6,4\red{\times10}} On multiplie par 1010 le numérateur et le dénominateur afin de travailler avec des valeurs entières.
    sin⁡(IKJ^)=2464\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{24}{64}
    sin⁡(IKJ^)=3×88×8\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{3\red{\times8}}{8\red{\times8}}
    sin⁡(IKJ^)=3×88×8\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{3\times \cancel{ \color{red}8}}{8\times \cancel{ \color{red}8}}
    sin⁡(IKJ^)=38\sin\left(\widehat{IKJ}\right)=\frac{3}{8}
    IKJ^=sin⁡−1(38)\widehat{IKJ}=\sin^{-1}\left(\frac{3}{8}\right) ou encore IKJ^=arcsin(38)\widehat{IKJ}=\text{arcsin}\left(\frac{3}{8}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    IKJ^=22,02∘\widehat{IKJ}=22,02{}^\circ

    La mesure de l'angle IKJ^\widehat{IKJ} est de 22∘22{}^\circ. (Arrondi au dixième près).

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