Trigonométrie dans le triangle rectangle

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

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Question 1

Construis un segment [AB][AB] de longueur 66 cm. Sur le cercle C\mathscr{C} de diamètre [AB][AB], place un point II tel
que BI=3BI = 3 cm.

Correction
Question 2

Quelle est la nature du triangle ABIABI ? Justifie.

Correction
D'après la figure ci-dessus, on a :
\bullet Le triangle ABIABI qui est inscrit dans le cercle C\mathscr{C}.
\bullet Le segment [AB][AB] qui est un diamètre du cercle C\mathscr{C}.
À l'aide de ces informations, on peut utiliser la propriété suivante :
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.

On en déduit donc que le triangle ABIABI est rectangle en II.
Question 3

Calcule la longueur AIAI, donne le résultat arrondi au dixième près.

Correction
Comme le triangle ABIABI est rectangle en II avec AB=6AB = 6 cm et BI=3BI = 3 cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
AB2=AI2+BI2AB^{2} =AI^{2} +BI^{2}
  • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} - (le coˆteˊ que l’on connait\text{le côté que l'on connait} )2^{2}.
On a alors :
AI2=AB2BI2AI^{2} =AB^{2} -BI^{2}
AI2=6232AI^{2} =6^{2} -3^{2}
AI2=369AI^{2} =36-9
AI2=27AI^{2} =27. Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de AIAI.
D'où : AI=27AI=\sqrt{27}
Ainsi :
AI=5,19AI=5,19 cm

La mesure de AIAI est donc de 5,25,2 cm. (arrondi au dixième près).
Question 4

Calcule la mesure arrondie au degré de l’angle ABI^\widehat{ABI}

Correction
Le triangle ABIABI est rectangle en II. Nous connaissons :
  • Le côté adjacent à l'angle I^\widehat{I} dont la mesure est IB=3IB=3 cm.
  • L'hypoténuse AB=6AB=6 cm.
  • Nous recherchons l'angle B^\widehat{B}.
  • Nous allons donc utiliser le cosinus{\color{blue}\text{cosinus}}.
    cos(ABI^)=coteˊ adjacent aˋ l’angle I^hypoteˊnuse\cos\left(\widehat{ABI}\right)=\frac{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{I}}{\text{hypoténuse}}
    cos(ABI^)=IBAB\cos\left(\widehat{ABI}\right)=\frac{IB}{AB}
    cos(ABI^)=36\cos\left(\widehat{ABI}\right)=\frac{3}{6}
    ABI^=cos1(36)\widehat{ABI}=\cos^{-1}\left(\frac{3}{6}\right) ou encore ABI^=arcos(36)\widehat{ABI}=\text{arcos}\left(\frac{3}{6}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    ABI^=60\widehat{ABI}=60{}^\circ

    La mesure de l'angle ABI^\widehat{ABI} est de 6060{}^\circ.