Trigonométrie dans le triangle rectangle

Déterminer la mesure d'un côté à l'aide de la tangente - Exercice 1

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COMPETENCES‾  :  1°)  Extraire  des  informations,  les  organiser,  les  confronter  aˋ  ses  connaissances.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Extraire\;des\;informations,\;les\;organiser,\;les\;confronter\;à\;ses\;connaissances.}
2°)  Utiliser  un  raisonnement  logique  et  des  reˋgles  eˊtablies  (formule  de  cours)  pour  parvenir  aˋ  une  conclusion.{\color{red}2°)\;Utiliser\;un\;raisonnement\;logique\;et\;des\;règles\;établies\;(formule\;de\;cours)\;pour\;parvenir\;à\;une\;conclusion.}
Question 1

Calculer la longueur XZXZ. Arrondir le résultat au centième près.

Correction
Le triangle ZXOZXO est rectangle en XX. Nous connaissons :
  • La mesure de l'angle Z^\widehat{Z} qui est de (54∘)\left(54{}^\circ \right)
  • Le côté opposé à l'angle Z^\widehat{Z} qui correspond au segment [XO]\left[XO\right].
  • Nous recherchons le côté adjacent qui correspond au segment [XZ]\left[XZ\right].
    • Nous allons donc utiliser la tangente{\color{blue}\text{tangente}}.
    tan⁡(XZO^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle Z^coteˊ adjacent aˋ l’angle Z^\tan\left(\widehat{XZO}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{Z}}{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{Z}}
    tan⁡(XZO^)=XOXZ\tan\left(\widehat{XZO}\right)=\frac{XO}{XZ}
    tan⁡(54∘)=14,3XZ\tan\left(54{}^\circ \right)=\frac{14,3}{XZ}
  • Ici, nous allons utiliser le produit en croix pour déterminer la mesure du segment [XZ]\left[XZ\right]
    • XZ=14,3tan⁡(54∘)XZ=\frac{14,3}{\tan\left(54{}^\circ \right)}
    XZ≈10,3896XZ\approx 10,3896 cm

    Le segment [XZ]\left[XZ\right] mesure 10,3910,39 cm. (Arrondi au centième près).