Sujet 1 - Exercice 1

Comme le triangle $$BCD$$ est rectangle en $$B$$ avec $$BC = 7,5$$ cm et $$CD = 8,5$$ cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$$CD^{2} =BC^{2} +BD^{2}$$
On a alors :
$$BD^{2} =CD^{2} -BC^{2}$$
$$BD^{2} =8,5^{2} -7,5^{2}$$
$$BD^{2} =72,25-56.25$$
$$BD^{2} =16$$. Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $$BD$$.
D'où :
$$\color{blue}\boxed{BD=4\; cm}$$.

Calculons dans un premier temps :$$\;$$ $$\frac{BD}{FE}$$
$$\frac{BD}{FE}=\frac{4}{3,2}$$
$$\frac{BD}{FE}=1,25$$
Calculons dans un second temps:$$\;$$ $$\frac{CD}{BE}$$
$$\frac{CD}{BE}=\frac{8,5}{6,8}$$
$$\frac{CD}{BE}=1,25$$
Et dans un troisième temps:$$\;$$ $$\frac{CB}{BF}$$
$$\frac{CB}{BF}=\frac{7,5}{6}$$
$$\frac{CB}{BF}=1,25$$
On constate ici que :
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$$$\boxed{\red{\frac{BD}{FE}=\frac{CD}{BE}=\frac{CB}{BF}=1,25}}$$
Par conséquent, on peut conclure que les triangles CBD et BFE sont semblables.

À la question précédente, on a démontré que les triangles $$CBD$$ et $$BFE$$ étaient semblables.
Par conséquent, on a : $$\widehat{CBE}=\widehat{BFE}$$
Or le triangle $$CBD$$ est rectangle en $$B$$, on peut donc en déduire que $$\widehat{CBE}=\widehat{BFE}=90\degree.$$
On peut donc conclure que Sophie a raison.