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Sujet 1 - Exercice 1

20 min
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Question 1
La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur.
  • Les points C,C, BB et EE sont alignés.
  • Le triangle ABCABC est rectangle en A.A.
  • Le triangle BDCBDC est rectangle en B.B.
  • Montrer que la longueur BDBD est égale à 4  cm.4\;cm.

    Correction
    Comme le triangle BCDBCD est rectangle en BB avec BC=7,5BC = 7,5 cm et CD=8,5CD = 8,5 cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
    CD2=BC2+BD2CD^{2} =BC^{2} +BD^{2}
    • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} - (le coˆteˊ que l’on connait\text{le côté que l'on connait} )2^{2} .
    On a alors :
    BD2=CD2BC2BD^{2} =CD^{2} -BC^{2}
    BD2=8,527,52BD^{2} =8,5^{2} -7,5^{2}
    BD2=72,2556.25BD^{2} =72,25-56.25
    BD2=16BD^{2} =16. Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de BDBD.
    D'où :
    BD=4  cm\color{blue}\boxed{BD=4\; cm}.
    Question 2

    Montrer que les triangles CBDCBD et BFEBFE sont semblables.

    Correction
    • Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels alors ce sont deux triangles semblables.
    Calculons dans un premier temps :  \; BDFE\frac{BD}{FE}
    BDFE=43,2\frac{BD}{FE}=\frac{4}{3,2}
    BDFE=1,25\frac{BD}{FE}=1,25
    Calculons dans un second temps:  \; CDBE\frac{CD}{BE}
    CDBE=8,56,8\frac{CD}{BE}=\frac{8,5}{6,8}
    CDBE=1,25\frac{CD}{BE}=1,25
    Et dans un troisième temps:  \; CBBF\frac{CB}{BF}
    CBBF=7,56\frac{CB}{BF}=\frac{7,5}{6}
    CBBF=1,25\frac{CB}{BF}=1,25
    On constate ici que :
                                                                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;BDFE=CDBE=CBBF=1,25\boxed{\red{\frac{BD}{FE}=\frac{CD}{BE}=\frac{CB}{BF}=1,25}}
    Par conséquent, on peut conclure que les triangles CBD et BFE sont semblables.
    Question 3

    Sophie affirme que l’angle BFE^\widehat{BFE} est un angle droit. A-t-elle raison ?

    Correction
    À la question précédente, on a démontré que les triangles CBDCBD et BFEBFE étaient semblables.
    • Deux triangles semblables sont deux triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure.
    Par conséquent, on a : CBE^=BFE^\widehat{CBE}=\widehat{BFE}
    Or le triangle CBDCBD est rectangle en BB, on peut donc en déduire que CBE^=BFE^=90°.\widehat{CBE}=\widehat{BFE}=90\degree.
    On peut donc conclure que Sophie a raison.