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Se familiariser avec les triangles semblables - Exercice 4

8 min
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COMPÉTENCE : Savoir utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer.
Question 1
ABCABC et UVWUVW sont deux triangles tels que :
AB=3,4AB=3,4 cm    \;\;;    \;\; BC=5BC=5 cm    \;\; et     \;\;AC=10AC=10 cm.
UV=7,14UV=7,14 cm    \;\;;    \;\; UW=10,1UW=10,1 cm    \;\; et     \;\;VW=21VW=21 cm.

Les triangles ABCABC et UVWUVW sont-ils semblables ?

Correction
  • Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels alors ce sont deux triangles semblables.
Calculons dans un premier temps :  \; UVAB\frac{UV}{AB}
UVAB=7,143,4\frac{UV}{AB}=\frac{7,14}{3,4}
UVAB=2,1\frac{UV}{AB}=2,1
Calculons dans un second temps :  \; UWBC\frac{UW}{BC}
UWBC=10,15\frac{UW}{BC}=\frac{10,1}{5}
UWBC=2,1\frac{UW}{BC}=2,1
Et dans un troisième temps :  \; VWAC\frac{VW}{AC}
VWAC=2110\frac{VW}{AC}=\frac{21}{10}
VWAC=2,1\frac{VW}{AC}=2,1
On constate ici que :
                                                                                                                        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;UVAB=UWBC=VWAC=2,1\boxed{\red{\frac{UV}{AB}=\frac{UW}{BC}=\frac{VW}{AC}=2,1}}
Par conséquent on peut conclure que les triangles ABC et UVW sont semblables.
Question 2
ABCABC et DEFDEF sont deux triangles tels que :
AB=3AB=3 cm    \;\;;    \;\; BC=7BC=7 cm    \;\; et     \;\;AC=8AC=8 cm.
DE=7,5DE=7,5 cm    \;\;;    \;\; EF=17,5EF=17,5 cm    \;\; et     \;\;DF=19,2DF=19,2 cm.

Les triangles ABCABC et DEFDEF sont-ils semblables ?

Correction
  • Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels alors ce sont deux triangles semblables.
Calculons dans un second temps :  \; ABDE\frac{AB}{DE}
ABDE=37,5\frac{AB}{DE}=\frac{3}{7,5}
ABDE=0,4\frac{AB}{DE}=0,4
Calculons dans un second temps :  \; BCEF\frac{BC}{EF}
BCEF=717,5\frac{BC}{EF}=\frac{7}{17,5}
BCEF=0,4\frac{BC}{EF}=0,4
Et dans un troisième temps :  \;ACDF\frac{AC}{DF}
ACDF=819,2\frac{AC}{DF}=\frac{8}{19,2}
ACDF≈0,416\frac{AC}{DF}\approx0,416
On constate ici que :
                                                                                                                        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ABDE=BCEF≠ACDF\boxed{\red{\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\ne\frac{AC}{DF}}}
Par conséquent, on peut conclure que les triangles ABC et DEF ne sont pas semblables.

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