Métropole 30 juin 2026 - Exercice 1

20 min
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Sur la figure ci-dessous :
  • les droites (BD)(BD) et (CE)(CE) sont sécantes en AA ;
  • les droites (BC)(BC) et (DE)(DE) sont parallèles ;
  • AB=6,4AB=6{,}4 cm ; AC=4,8AC=4{,}8 cm ; AD=4,8AD=4{,}8 cm ; BC=8BC=8 cm.
    • Question 1

    Montrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA.

    Correction
    Dans le triangle ABCABC, le plus grand côté est BC=8BC=8 cm.
  • Calculons d'une part :
    • BC2=82BC^{2}=8^{2}
    BC2=64BC^{2}=64
  • Calculons d'autre part :
    • AB2+AC2=6,42+4,82AB^{2}+AC^{2}=6{,}4^{2}+4{,}8^{2}
    AB2+AC2=40,96+23,04AB^{2}+AC^{2}=40{,}96+23{,}04
    AB2+AC2=64AB^{2}+AC^{2}=64

    Or BC2=AB2+AC2{\color{blue}BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}}
    Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA.
    Question 2

    Montrer que DE=6DE=6 cm et AE=3,6AE=3{,}6 cm.

    Correction
  • Les points DD, AA et BB sont alignés dans le même ordre que les points EE, AA et CC.
  • Les droites (DE)\left(DE\right) et (BC)\left(BC\right) sont parallèles.
    • D'après le théorème de Thalès, on a :
    ADAB=AEAC=DEBC\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}. Nous allons remplacer par les mesures. Ainsi :
    4,86,4=AE4,8=DE8\dfrac{4{,}8}{6{,}4}=\dfrac{AE}{4{,}8}=\dfrac{DE}{8}
    À partir de 4,86,4=DE8\dfrac{4{,}8}{6{,}4}=\dfrac{DE}{8} on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
    DE=4,8×86,4DE=\dfrac{4{,}8\times 8}{6{,}4}
    DE=6DE=6 cm

    À partir de 4,86,4=AE4,8\dfrac{4{,}8}{6{,}4}=\dfrac{AE}{4{,}8} on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
    AE=4,8×4,86,4AE=\dfrac{4{,}8\times 4{,}8}{6{,}4}
    AE=3,6AE=3{,}6 cm
    On a bien DE=6DE=6 cm et AE=3,6AE=3{,}6 cm.
    Question 3

    Montrer que les angles ABC^\widehat{ABC} et ADE^\widehat{ADE} sont égaux.
    Détailler la réponse en précisant la démarche.

    Correction
    Les droites (BC)(BC) et (DE)(DE) sont parallèles et elles sont coupées par la sécante (BD)(BD).
    Les angles ABC^\widehat{ABC} et ADE^\widehat{ADE} sont situés de part et d'autre de la sécante (BD)(BD) et entre les deux droites parallèles : ce sont des angles alternes-internes.
    • Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu'elles forment ont la même mesure.
    On peut donc conclure que les angles ABC^\widehat{ABC} et ADE^\widehat{ADE} sont égaux.
    Question 4

    Montrer que les triangles ABCABC et ADEADE sont semblables.

    Correction
    • Si deux triangles ont deux paires d'angles de même mesure, alors, ils sont semblables.
  • D'après la question 3, on a : ABC^=ADE^\widehat{ABC}=\widehat{ADE}.
  • Les angles BAC^\widehat{BAC} et DAE^\widehat{DAE} sont opposés par le sommet AA (les droites (BD)(BD) et (CE)(CE) sont sécantes en AA).
    • Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
    On a donc : BAC^=DAE^\widehat{BAC}=\widehat{DAE}.
    Les triangles ABCABC et ADEADE ont deux paires d'angles de même mesure.
    Par conséquent, on peut conclure que les triangles ABCABC et ADEADE sont semblables.Remarque : on peut aussi vérifier que leurs côtés sont proportionnels : ADAB=4,86,4=0,75\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4{,}8}{6{,}4}=0{,}75 ; AEAC=3,64,8=0,75\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{3{,}6}{4{,}8}=0{,}75 et DEBC=68=0,75\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{6}{8}=0{,}75.
    Question 5

    Déterminer l'aire du quadrilatère BCDEBCDE.

    Correction
    • Aire d’un triangle=base×hauteur2\text{Aire d'un triangle}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2} ; dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont une base et la hauteur associée.
    D'après la question 1, le triangle ABCABC est rectangle en AA : les droites (BD)(BD) et (CE)(CE) sont perpendiculaires en AA.
    Le quadrilatère BCDEBCDE est donc formé de quatre triangles rectangles en AA :
    AireABC=AB×AC2=6,4×4,82=15,36 cm2\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{6{,}4\times 4{,}8}{2}=15{,}36\ \text{cm}^{2}
    AireACD=AD×AC2=4,8×4,82=11,52 cm2\text{Aire}_{ACD}=\dfrac{AD\times AC}{2}=\dfrac{4{,}8\times 4{,}8}{2}=11{,}52\ \text{cm}^{2}
    AireADE=AD×AE2=4,8×3,62=8,64 cm2\text{Aire}_{ADE}=\dfrac{AD\times AE}{2}=\dfrac{4{,}8\times 3{,}6}{2}=8{,}64\ \text{cm}^{2}
    AireAEB=AB×AE2=6,4×3,62=11,52 cm2\text{Aire}_{AEB}=\dfrac{AB\times AE}{2}=\dfrac{6{,}4\times 3{,}6}{2}=11{,}52\ \text{cm}^{2}
    AireBCDE=15,36+11,52+8,64+11,52\text{Aire}_{BCDE}=15{,}36+11{,}52+8{,}64+11{,}52
    AireBCDE=47,04 cm2\text{Aire}_{BCDE}=47{,}04\ \text{cm}^{2}
    L'aire du quadrilatère BCDEBCDE est de 47,04 cm247{,}04\ \text{cm}^{2}.

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