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Triangles semblables

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

10 min
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Question 1
Dans cet exercice, l'objectif est de calculer l'aire du triangle MNPMNP. Les mesures sont données en cmcm.

Montrer que les triangles MNLMNL et SRUSRU sont semblables.

Correction
Si deux triangles ont seulement deux paires d'angles de même mesure⁣, alors, ils sont semblables.
À l'aide de la figure ci-dessus, on constate que :
MNL^=RSU^\widehat{MNL}=\widehat{RSU}
On peut donc déjà en déduire que les deux triangles ont une paire d'angles de même mesure.
Dans un second temps, on sait que les triangles MNLMNL et SRUSRU sont rectangles, par conséquent :
Dans le triangle MNLMNL on a : MLN^=90\widehat{MLN}=90{}^\circ.
Dans le triangle SRUSRU on a : RUS^=90\widehat{RUS}=90{}^\circ. On a donc :
MLN^=RUS^\widehat{MLN}=\widehat{RUS}
On peut donc conclure que les triangles MNLMNL et SRUSRU ont deux paires d'angles de la même mesure, ils sont donc semblables.
Question 2

Quels sont les côtés homologues ?

Correction
  • On dit que 22 côtés sont homologues si les deux angles situés à leurs extrémités ont les mêmes mesures deux à deux.
Dans la figure ci-dessus, on constate que MNL^=RSU^,\blue{\widehat{MNL}=\widehat{RSU},} MLN^=RUS^,\blue{\widehat{MLN}=\widehat{RUS},} et que NML^=SRU^.\blue{\widehat{NML}=\widehat{SRU}.}
On peut donc en conclure que :
  • le côté homologue au segment [MN][MN] est le segment [SR][SR]
  • le côté homologue au segment [ML][ML] est le segment [RU][RU]
  • le côté homologue au segment [NL][NL] est le segment [SU][SU]
  • Question 3

    En déduire que MNRS=MLRU\frac{MN}{RS}=\frac{ML}{RU}

    Correction
    • Si deux triangles sont semblables alors le quotient des côtés homologues sont égaux.
    De la propriété ci-dessus, on obtient l'égalité suivante : MNRS=MLRU=NLSU\color{blue}\boxed{\frac{MN}{RS}=\frac{ML}{RU}=\frac{NL}{SU}}
    Question 4

    Calculer MLML sachant que MN=8MN=8 cm, RS=10RS=10 cm, RU=14RU=14 cm.

    Correction
    Pour calculer MLML, on utilise l'égalité déterminée à la question précédente soit :
    MNRS=MLRU=NLSU\frac{MN}{RS}=\frac{ML}{RU}=\frac{NL}{SU}
    810=ML14=NLSU\frac{8}{10}=\frac{ML}{14}=\frac{NL}{SU}
    En utilisant le produit en croix, on obtient : ML=8×1410ML=\frac{8\times14}{10}
    ML=11,2ML=11,2 cm
    On peut donc en déduire que MLML mesure 11,2\color{blue}11,2 cm.
    Question 5

    On sait que NP=9NP=9, quelle est l'aire du triangle MNP  ?MNP\;?

    Correction
    L'aire d'un triangle est définie par la formule suivante :
    Airetriangle=base×hauteur2Aire_{triangle}=\frac{base\times{hauteur}}{2}    \;\;Avec comme base NP=9NP=9 cm et comme hauteur ML=11,2ML=11,2 cm
    Airetriangle=9×11,22Aire_{triangle}=\frac{9\times{11,2}}{2}
    Airetriangle=50,4  cm2\color{blue}\boxed{Aire_{triangle}=50,4\;cm^2}
    On peut donc conclure que le triangle MNPMNP a pour aire 50,4  cm2\color{blue}50,4\;cm^2.