Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

À l'aide de la figure ci-dessus, on constate que :
$$\widehat{MNL}=\widehat{RSU}$$
On peut donc déjà en déduire que les deux triangles ont une paire d'angles de même mesure.
Dans un second temps, on sait que les triangles $$MNL$$ et $$SRU$$ sont rectangles, par conséquent :
Dans le triangle $$MNL$$ on a : $$\widehat{MLN}=90{}^\circ$$.
Dans le triangle $$SRU$$ on a : $$\widehat{RUS}=90{}^\circ$$. On a donc :
$$\widehat{MLN}=\widehat{RUS}$$
On peut donc conclure que les triangles $$MNL$$ et $$SRU$$ ont deux paires d'angles de la même mesure, ils sont donc semblables.

Dans la figure ci-dessus, on constate que $$\blue{\widehat{MNL}=\widehat{RSU},}$$ $$\blue{\widehat{MLN}=\widehat{RUS},}$$ et que $$\blue{\widehat{NML}=\widehat{SRU}.}$$
On peut donc en conclure que :

le côté homologue au segment $$[MN]$$ est le segment $$[SR]$$

le côté homologue au segment $$[ML]$$ est le segment $$[RU]$$

le côté homologue au segment $$[NL]$$ est le segment $$[SU]$$

De la propriété ci-dessus, on obtient l'égalité suivante : $$\color{blue}\boxed{\frac{MN}{RS}=\frac{ML}{RU}=\frac{NL}{SU}}$$

Pour calculer $$ML$$, on utilise l'égalité déterminée à la question précédente soit :
$$\frac{MN}{RS}=\frac{ML}{RU}=\frac{NL}{SU}$$
$$\frac{8}{10}=\frac{ML}{14}=\frac{NL}{SU}$$
En utilisant le produit en croix, on obtient : $$ML=\frac{8\times14}{10}$$
$$ML=11,2$$ cm
On peut donc en déduire que $$ML$$ mesure $$\color{blue}11,2$$ cm.

L'aire d'un triangle est définie par la formule suivante :
$$Aire_{triangle}=\frac{base\times{hauteur}}{2}$$$$\;\;$$Avec comme base $$NP=9$$ cm et comme hauteur $$ML=11,2$$ cm
$$Aire_{triangle}=\frac{9\times{11,2}}{2}$$
$$\color{blue}\boxed{Aire_{triangle}=50,4\;cm^2}$$
On peut donc conclure que le triangle $$MNP$$ a pour aire $$\color{blue}50,4\;cm^2$$.