Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

Les triangles $$CDE$$ et $$CAB$$ ont le sommet $$C$$ en commun, donc :
$$\widehat{ACB}=\widehat{ECD}$$
On peut donc déjà en déduire que les deux triangles ont une paire d'angles de même mesure.
Dans un second temps, on sait que les triangles $$ACB$$ et $$ECD$$ sont rectangles, par conséquent :
Dans le triangle $$ACB$$ on a : $$\widehat{ABC}=90{}^\circ$$.
Dans le triangle $$ECD$$ on a : $$\widehat{CED}=90{}^\circ$$. On a donc :
$$\widehat{ABC}=\widehat{CED}$$
On peut donc conclure que les triangles $$CDE$$ et $$CAB$$ ont deux paires d'angles de la même mesure, ils sont donc semblables.De la propriété ci-dessus, on obtient l'égalité suivante : $$\color{blue}\boxed{\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{ED}{BA}}$$

Pour calculer $$ED$$, on utilise l'égalité déterminée à la question $$1$$ soit :
$$\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{ED}{BA}$$
$$\frac{1,6}{CB}=\frac{2,3}{6,7}=\frac{ED}{5,3}$$$$\;\color{red}\Rightarrow\;$$ Avec $$CA=CE+EA$$
En utilisant le produit en croix, on obtient : $$ED=\frac{2,3\times5,3}{6,7}$$
$$ED\approx1,819$$ cm
On peut donc en déduire que $$ED$$ mesure $$\color{blue}1,8$$ cm. (Arrondi au dixième près).

Pour calculer $$DB$$, il nous faut déterminer $$CB$$, en effet :
$$DB=CB-CD$$
De la question précédente, on a : $$\frac{1,6}{CB}=\frac{2,3}{6,7}=\frac{ED}{5,3}$$
En utilisant le produit en croix, on obtient : $$CB=\frac{1,6\times6,7}{2,3}$$
$$CB\approx4,7$$ cm.
Or : $$DB=CB-CD$$
$$DB=4,7-2,3$$
$$DB=2,4$$ cm
On peut donc en déduire que $$DB$$ mesure $$\color{blue}2,4$$ cm. (Arrondi au dixième près).