Sujet 1 - Exercice 1

Dans le triangle $$ABC$$, le plus grand côté est $$AB=6,25$$ cm.

Calculons d'une part :

$$AB^{2} =6,25^{2}$$

Calculons d'autre part :

$$AC^{2} +BC^{2} =5^{2} +3,75^{2}$$
$$AC^{2} +BC^{2} =25+14,0625$$

Or $${\color{blue}AB^{2}=AC^{2} +BC^{2}}$$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$C$$.

Le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$C$$ donc $$(BC) ⊥ (AC).$$
On sait que $$(DE) ⊥ (AD)$$ et comme $$C$$, $$D$$ et $$A$$ sont alignés, $$(DE) ⊥ (AC).$$
Ici, on a :

$$(BC) ⊥ (AC)$$

$$(DE) ⊥ (AC)$$
On peut donc en conclure que les droites $$(BC)$$ et $$(DE)$$ sont parallèles.

Les points $$A$$, $$E$$ et $$B$$ sont alignés dans le même ordre que les points $$A$$, $$D$$ et $$C$$ .

Les droites $$\left(DE\right)$$ et $$\left(BC\right)$$ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a :
$$\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} =\frac{DE}{BC}$$. Nous allons remplacer par les mesures. Ainsi :
$$\frac{3,2}{5} =\frac{AE}{6,25} =\frac{DE}{3,75}$$
À partir de $$\frac{3,2}{5} =\frac{DE}{3,75}$$ on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
$$DE=\frac{3,2\times 3,75}{5}$$

La mesure du segment $$\left[DE\right]$$ est de $$2,4$$ cm.

Les droites $$(AB)$$ et $$(AC)$$ sont sécantes en $$A$$.

Les points $$A$$, $$N$$, $$B$$ sont alignés dans le même ordre que $$A$$, $$M$$ et $$C$$.

Calculons d'une part :
$$\frac{AN}{AB} =\frac{5}{6,25}$$

Calculons d'autre part :
$$\frac{AM}{AC} =\frac{4}{5}$$

On constate ici, que : $$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$$.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $$\left(MN\right)$$ et $$\left(BC\right)$$ ne sont pas parallèles.