Polynésie 7 septembre 2026 - Exercice 1

La droite $$(BF)$$ est l'axe de symétrie de la figure. Les points $$A$$ et $$C$$ sont sur la droite $$(GE)$$, perpendiculaire à l'axe $$(BF)$$ en $$O$$ (le triangle $$COD$$ est rectangle en $$O$$), de part et d'autre de l'axe : le symétrique du point $$C$$ par rapport à la droite $$(BF)$$ est le point $$A$$, et le point $$O$$, qui est sur l'axe, est son propre symétrique.
Le segment $$[OA]$$ est donc le symétrique du segment $$[OC]$$ :

Les diagonales $$[AC]$$ et $$[BD]$$ du quadrilatère $$ABCD$$ sont perpendiculaires et se coupent en $$O$$ avec $$OA=OC=3$$ cm, $$OB=6$$ cm et $$OD=4$$ cm.
$$\bf{1.}$$ On trace le segment $$[AC]$$ de longueur $$6$$ cm et on place son milieu $$O$$.
$$\bf{2.}$$ Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à $$(AC)$$ passant par $$O$$.
$$\bf{3.}$$ Sur cette perpendiculaire, on place $$B$$ à $$6$$ cm de $$O$$ d'un côté et $$D$$ à $$4$$ cm de $$O$$ de l'autre côté.
$$\bf{4.}$$ On trace les côtés $$[AB]$$, $$[BC]$$, $$[CD]$$ et $$[DA]$$.

Les points $$O$$, $$D$$ et $$F$$ sont alignés dans cet ordre, donc $$OF=OD+DF=4+2=6$$ cm.
Les points $$O$$, $$C$$ et $$E$$ sont alignés dans cet ordre, donc $$OE=OC+CE=3+1{,}5=4{,}5$$ cm.
Le triangle $$COD$$ est rectangle en $$O$$, donc les droites $$(OE)$$ et $$(OF)$$ sont perpendiculaires : le triangle $$OFE$$ est rectangle en $$O$$.
Comme le triangle $$OFE$$ est rectangle en $$O$$ avec $$OE=4{,}5$$ cm et $$OF=6$$ cm.
On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$$FE^{2}=OE^{2}+OF^{2}$$
donc :
$$FE^{2}=4{,}5^{2}+6^{2}$$
$$FE^{2}=20{,}25+36$$
$$FE^{2}=56{,}25$$
Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $$FE$$.
D'où :
$$FE=\sqrt{56{,}25}$$
Ainsi :
Le côté $$[FE]$$ mesure $$7{,}5$$ cm.

Les droites $$(OE)$$ et $$(OF)$$ sont sécantes en $$O$$.

Les points $$O$$, $$C$$, $$E$$ sont alignés dans le même ordre que $$O$$, $$D$$ et $$F$$.

Calculons d'une part :
$$\dfrac{OC}{OE}=\dfrac{3}{4{,}5}$$

Calculons d'autre part :
$$\dfrac{OD}{OF}=\dfrac{4}{6}$$

On constate ici que : $$\dfrac{OC}{OE}=\dfrac{OD}{OF}$$.
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $$\left(CD\right)$$ et $$\left(EF\right)$$ sont parallèles.