Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

12 min
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Question 1
La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur, on ne demande pas de la reproduire. Les droites (AE)(AE) et (BD)(BD) sont sécantes en CC.
On donne : CA=3CA=3 cm ; CB=2,5CB=2,5 cm ; CE=5,4CE=5,4 ; cm   \; et   \; CD=4,5CD=4,5 cm.

Montrer que les droites (AB)(AB) et (DE)(DE) sont parallèles.

Correction
  • Les droites (AE)(AE) et (BD)(BD) sont sécantes en CC.
  • Les points AA, CC, EE sont alignés dans le même ordre que BB, CC et DD.
    • Calculons d'une part :
    CECA=5,43\frac{CE}{CA} =\frac{5,4}{3}
    CECA=1,8\frac{CE}{CA} =1,8

    Calculons d'autre part :
    CDCB=4,52,5\frac{CD}{CB} =\frac{4,5}{2,5}
    CDCB=1,8\frac{CD}{CB} =1,8

    On constate ici, que : CECA=CDCB\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}.
    Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB)\left(AB\right) et (DE)\left(DE\right) sont parallèles.
    Question 2

    On suppose que AB=1,2AB = 1,2 cm. Calculer la distance DEDE.

    Correction
  • Les points AA, CC et EE sont alignés dans le même ordre que les points BB, CC et DD .
  • Les droites (AB)\left(AB\right) et (DE)\left(DE\right) sont parallèles.
    • D'après le théorème de Thalès, on a :
    CDCB=CECA=DEAB\frac{CD}{CB} =\frac{CE}{CA} =\frac{DE}{AB}. Nous allons remplacer par les mesures. Ainsi :
    4,52,5=5,43=DE1,2\frac{4,5}{2,5} =\frac{5,4}{3} =\frac{DE}{1,2}
    À partir de 5,43=DE1,2\frac{5,4}{3} =\frac{DE}{1,2} on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
    DE=5,4×1,23DE=\frac{5,4\times 1,2}{3}
    DE=2,16DE=2,16 cm

    La mesure du segment [DE]\left[DE\right] est de 2,162,16 cm.