Centres étrangers 18 juin 2026 - Exercice 1

On connaît la longueur $$AB=6{,}4$$ cm, l'angle droit en $$B$$ et la longueur de l'hypoténuse $$AC=8$$ cm.
$$\bf{1.}$$ On trace le segment $$[AB]$$ de longueur $$6{,}4$$ cm.
$$\bf{2.}$$ Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à la droite $$(AB)$$ passant par le point $$B$$.
$$\bf{3.}$$ Avec le compas, on trace un arc de cercle de centre $$A$$ et de rayon $$8$$ cm : il coupe la perpendiculaire au point $$C$$.
$$\bf{4.}$$ On trace les segments $$[AC]$$ et $$[BC]$$, sans effacer l'arc de cercle ni le codage de l'angle droit.

Comme le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$B$$ avec $$AC=8$$ cm et $$AB=6{,}4$$ cm.
On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$$
On a alors :
$$BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}$$
$$BC^{2}=8^{2}-6{,}4^{2}$$
$$BC^{2}=64-40{,}96$$
$$BC^{2}=23{,}04$$
Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $$BC$$.
D'où :
$$BC=\sqrt{23{,}04}$$
Ainsi :
On a bien $$BC=4{,}8$$ cm.

Le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$B$$ et les points $$A$$, $$B$$ et $$M$$ sont alignés, donc $$(BC)\perp(AM)$$.
Le triangle $$AMN$$ est rectangle en $$M$$, donc $$(MN)\perp(AM)$$.
Ici, on a :

$$(BC)\perp(AM)$$

$$(MN)\perp(AM)$$

On peut donc en conclure que les droites $$(BC)$$ et $$(MN)$$ sont parallèles.

Les points $$A$$, $$B$$ et $$M$$ sont alignés dans cet ordre, donc :
$$AM=AB+BM$$
$$AM=6{,}4+3{,}2$$
$$AM=9{,}6$$ cm

Les points $$A$$, $$B$$ et $$M$$ sont alignés dans le même ordre que les points $$A$$, $$C$$ et $$N$$.

Les droites $$\left(BC\right)$$ et $$\left(MN\right)$$ (question 3) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a :
$$\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}$$. Nous allons remplacer par les mesures. Ainsi :
$$\dfrac{6{,}4}{9{,}6}=\dfrac{8}{AN}=\dfrac{4{,}8}{MN}$$
À partir de $$\dfrac{6{,}4}{9{,}6}=\dfrac{4{,}8}{MN}$$ on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
$$MN=\dfrac{9{,}6\times 4{,}8}{6{,}4}$$

À partir de $$\dfrac{6{,}4}{9{,}6}=\dfrac{8}{AN}$$ on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
$$AN=\dfrac{9{,}6\times 8}{6{,}4}$$
On a bien $$MN=7{,}2$$ cm et $$AN=12$$ cm.

1°) Calculons dans un premier temps le périmètre du triangle $$ABC$$ :
$$\mathcal{P}_{ABC}=AB+BC+CA$$
$$\mathcal{P}_{ABC}=6{,}4+4{,}8+8$$
2°) Calculons dans un second temps le périmètre du quadrilatère $$BMNC$$ :
Les points $$A$$, $$C$$ et $$N$$ sont alignés dans cet ordre, donc $$CN=AN-AC=12-8=4$$ cm.
$$\mathcal{P}_{BMNC}=BM+MN+NC+CB$$
$$\mathcal{P}_{BMNC}=3{,}2+7{,}2+4+4{,}8$$
On peut donc conclure que le périmètre du triangle $$ABC$$ et le périmètre du quadrilatère $$BMNC$$ sont égaux : ils mesurent tous les deux $$19{,}2$$ cm.