Asie 15 juin 2026 - Exercice 1

15 min
25
La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle.
  • Les points OO, AA et BB sont alignés.
  • Les points OO, DD et CC sont alignés.
  • OD=8,2OD=8{,}2 cm ; AD=1,8AD=1{,}8 cm et BC=4,5BC=4{,}5 cm.
    • Question 1

    Montrer que la longueur du segment [OA][OA] est égale à 88 cm.

    Correction
    D'après le codage de la figure, le triangle OADOAD est rectangle en AA.
    Comme le triangle OADOAD est rectangle en AA avec OD=8,2OD=8{,}2 cm et AD=1,8AD=1{,}8 cm.
    On peut appliquer le théorème de Pythagore :
    OD2=AD2+OA2OD^{2}=AD^{2}+OA^{2}
    • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} −- (le coˆteˊ que l’on connait\text{le côté que l'on connait})2^{2}.
    On a alors :
    OA2=OD2−AD2OA^{2}=OD^{2}-AD^{2}
    OA2=8,22−1,82OA^{2}=8{,}2^{2}-1{,}8^{2}
    OA2=67,24−3,24OA^{2}=67{,}24-3{,}24
    OA2=64OA^{2}=64
    Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de OAOA.
    D'où :
    OA=64OA=\sqrt{64}
    Ainsi :
    OA=8OA=8 cm
    La longueur du segment [OA][OA] est bien égale à 88 cm.
    Question 2

    Justifier que les droites (BC)(BC) et (AD)(AD) sont parallèles.

    Correction
    D'après le codage de la figure, (BC)⊥(OB)(BC)\perp(OB) et (AD)⊥(OB)(AD)\perp(OB) (les points OO, AA et BB sont alignés).
    • Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
    Ici, on a :
  • (BC)⊥(OB)(BC)\perp(OB)
  • (AD)⊥(OB)(AD)\perp(OB)
    • On peut donc en conclure que les droites (BC)(BC) et (AD)(AD) sont parallèles.
    Question 3

    Calculer la longueur du segment [OB][OB].

    Correction
  • Les points OO, AA et BB sont alignés dans le même ordre que les points OO, DD et CC.
  • Les droites (AD)\left(AD\right) et (BC)\left(BC\right) (question 2) sont parallèles.
    • D'après le théorème de Thalès, on a :
    OAOB=ODOC=ADBC\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OD}{OC}=\dfrac{AD}{BC}. Nous allons remplacer par les mesures. Ainsi :
    8OB=8,2OC=1,84,5\dfrac{8}{OB}=\dfrac{8{,}2}{OC}=\dfrac{1{,}8}{4{,}5}
    À partir de 8OB=1,84,5\dfrac{8}{OB}=\dfrac{1{,}8}{4{,}5} on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
    OB=8×4,51,8OB=\dfrac{8\times 4{,}5}{1{,}8}
    OB=20OB=20 cm
    La longueur du segment [OB][OB] est de 2020 cm.
    Question 4
    Une entreprise souhaite fabriquer des gobelets. Un gobelet (grisé sur le schéma ci-dessous) a la forme d'un tronc de cône (cône coupé par un plan parallèle à sa base).On reprend les données précédentes.
    La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle.
    Rappel : volume d'un cône de révolution : V=π×R2×H÷3V=\pi\times R^{2}\times H\div 3, où RR est le rayon de la base et HH est la hauteur du cône.

    Calculer le volume du grand cône de hauteur [OB][OB] en cm3\text{cm}^{3}, arrondi à l'unité.

    Correction
    • Volume d'un cône de révolution : V=π×R2×H÷3V=\pi\times R^{2}\times H\div 3, où RR est le rayon de la base et HH est la hauteur du cône.
    Le grand cône a pour sommet OO, pour hauteur H=OB=20H=OB=20 cm (question 3) et sa base est le disque de rayon R=BC=4,5R=BC=4{,}5 cm.
    Vgrand coˆne=π×4,52×20÷3V_{\text{grand cône}}=\pi\times 4{,}5^{2}\times 20\div 3
    Vgrand coˆne=π×20,25×20÷3V_{\text{grand cône}}=\pi\times 20{,}25\times 20\div 3
    Vgrand coˆne=135π cm3V_{\text{grand cône}}=135\pi\ \text{cm}^{3}   \;⇒\color{red}\Rightarrow  \; (valeur exacte)
    Vgrand coˆne≈424 cm3V_{\text{grand cône}}\approx 424\ \text{cm}^{3}
    Le volume du grand cône est d'environ 424 cm3424\ \text{cm}^{3} (arrondi à l'unité).
    Question 5

    Calculer le volume du gobelet, en cm3\text{cm}^{3}, arrondi à l'unité.

    Correction
    Le gobelet est le grand cône auquel on enlève le petit cône de sommet OO :
    1°) Calculons dans un premier temps le volume du petit cône :
    Il a pour hauteur H=OA=8H=OA=8 cm et sa base est le disque de rayon R=AD=1,8R=AD=1{,}8 cm.
    Vpetit coˆne=π×1,82×8÷3V_{\text{petit cône}}=\pi\times 1{,}8^{2}\times 8\div 3
    Vpetit coˆne=π×3,24×8÷3V_{\text{petit cône}}=\pi\times 3{,}24\times 8\div 3
    Vpetit coˆne=8,64π cm3V_{\text{petit cône}}=8{,}64\pi\ \text{cm}^{3}   \;⇒\color{red}\Rightarrow  \; (valeur exacte)
    2°) Calculons dans un second temps le volume du gobelet :
    Vgobelet=Vgrand coˆne−Vpetit coˆneV_{\text{gobelet}}=V_{\text{grand cône}}-V_{\text{petit cône}}
    Vgobelet=135π−8,64πV_{\text{gobelet}}=135\pi-8{,}64\pi
    Vgobelet=126,36π cm3V_{\text{gobelet}}=126{,}36\pi\ \text{cm}^{3}
    Vgobelet≈397 cm3V_{\text{gobelet}}\approx 397\ \text{cm}^{3}
    Le volume du gobelet est d'environ 397 cm3397\ \text{cm}^{3} (arrondi à l'unité).

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.