Antilles-Guyane 30 juin 2026 - Exercice 1

20 min
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Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas représentée en vraie grandeur :
  • AA est le point d'intersection des droites (BE)(BE) et (TM)(TM) ;
  • le triangle ABMABM est rectangle en AA ;
  • AT=2,2AT=2{,}2 m ; MT=7,7MT=7{,}7 m ;
  • AE=1,92AE=1{,}92 m et MB=7,3MB=7{,}3 m.
    • Question 1

    Justifier que AM=5,5AM=5{,}5 m.

    Correction
    Le point AA appartient au segment [TM][TM], donc :
    AM=MT−ATAM=MT-AT
    AM=7,7−2,2AM=7{,}7-2{,}2
    AM=5,5AM=5{,}5 m
    On a bien AM=5,5AM=5{,}5 m.
    Question 2

    Montrer que la longueur ABAB est égale à 4,84{,}8 m.

    Correction
    Comme le triangle ABMABM est rectangle en AA avec BM=7,3BM=7{,}3 m et AM=5,5AM=5{,}5 m.
    On peut appliquer le théorème de Pythagore :
    BM2=AM2+AB2BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}
    • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} −- (le coˆteˊ que l’on connait\text{le côté que l'on connait})2^{2}.
    On a alors :
    AB2=BM2−AM2AB^{2}=BM^{2}-AM^{2}
    AB2=7,32−5,52AB^{2}=7{,}3^{2}-5{,}5^{2}
    AB2=53,29−30,25AB^{2}=53{,}29-30{,}25
    AB2=23,04AB^{2}=23{,}04
    Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de ABAB.
    D'où :
    AB=23,04AB=\sqrt{23{,}04}
    Ainsi :
    AB=4,8AB=4{,}8 m
    La longueur ABAB est bien égale à 4,84{,}8 m.
    Question 3

    Calculer la mesure de l'angle ABM^\widehat{ABM}. Donner la valeur arrondie au degré.

    Correction
    Le triangle ABMABM est rectangle en AA. Nous connaissons :
  • Le côté opposé à l'angle B^\widehat{B} dont la mesure est AM=5,5AM=5{,}5 m.
  • L'hypoténuse BM=7,3BM=7{,}3 m.
  • Nous recherchons l'angle B^\widehat{B}.
    • Nous allons donc utiliser le sinus{\color{blue}\text{sinus}}.
    sin⁡(ABM^)=coˆteˊ opposeˊ aˋ l’angle B^hypoteˊnuse\sin\left(\widehat{ABM}\right)=\dfrac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{B}}{\text{hypoténuse}}
    sin⁡(ABM^)=AMBM\sin\left(\widehat{ABM}\right)=\dfrac{AM}{BM}
    sin⁡(ABM^)=5,57,3\sin\left(\widehat{ABM}\right)=\dfrac{5{,}5}{7{,}3}
    ABM^=sin⁡−1(5,57,3)\widehat{ABM}=\sin^{-1}\left(\dfrac{5{,}5}{7{,}3}\right) ou encore ABM^=arcsin(5,57,3)\widehat{ABM}=\text{arcsin}\left(\dfrac{5{,}5}{7{,}3}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    ABM^≈48,9∘\widehat{ABM}\approx 48{,}9^{\circ}
    L'angle ABM^\widehat{ABM} mesure environ 49∘49^{\circ} (arrondi au degré).
    Question 4

    Montrer que les droites (TE)(TE) et (BM)(BM) sont parallèles.
    Détailler la réponse en précisant la démarche.

    Correction
  • Les droites (TM)(TM) et (BE)(BE) sont sécantes en AA.
  • Les points TT, AA, MM sont alignés dans le même ordre que EE, AA et BB.
    • Calculons d'une part :
    ATAM=2,25,5\dfrac{AT}{AM}=\dfrac{2{,}2}{5{,}5}
    ATAM=0,4\dfrac{AT}{AM}=0{,}4

    Calculons d'autre part :
    AEAB=1,924,8\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1{,}92}{4{,}8}
    AEAB=0,4\dfrac{AE}{AB}=0{,}4

    On constate ici que : ATAM=AEAB\dfrac{AT}{AM}=\dfrac{AE}{AB}.
    Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TE)\left(TE\right) et (BM)\left(BM\right) sont parallèles.
    Question 5
    Le triangle ABMABM est l'image du triangle AETAET par une homothétie de centre AA.

    Choisir le rapport de cette homothétie parmi les propositions suivantes. Aucune justification n'est demandée.

    Correction
      L'image d'un point AA par l'homothétie de centre OO et de rapport k\color{red}k négatif est le point A′A' tel que :
    • Les points AA, OO et A′A' sont alignés et le centre OO est entre AA et A′A'.
    • La longueur OA′OA' est égale à −k-k fois la longueur OAOA.
    L'homothétie de centre AA transforme EE en BB et TT en MM.
    Le centre AA est entre EE et BB (et entre TT et MM) : le rapport kk est donc négatif.
    De plus : ABAE=4,81,92=2,5\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{4{,}8}{1{,}92}=2{,}5 et AMAT=5,52,2=2,5\dfrac{AM}{AT}=\dfrac{5{,}5}{2{,}2}=2{,}5.
    Le rapport de l'homothétie est k=−2,5k=-2{,}5 : c'est la proposition 3.

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