Amérique du Nord 3 juin 2026 - Exercice 1

12 min 30
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La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur.
  • Les points BB, AA et EE sont alignés.
  • Les points CC, AA et DD sont alignés.
  • Le triangle ABCABC est rectangle en BB.
  • DE=4,8DE=4{,}8 cm ; AD=7,3AD=7{,}3 cm ; AE=5,5AE=5{,}5 cm et BC=7,2BC=7{,}2 cm.
    • Question 1

    Montrer que le triangle AEDAED est un triangle rectangle en EE.

    Correction
    Dans le triangle AEDAED, le plus grand côté est AD=7,3AD=7{,}3 cm.
  • Calculons d'une part :
    • AD2=7,32AD^{2}=7{,}3^{2}
    AD2=53,29AD^{2}=53{,}29
  • Calculons d'autre part :
    • AE2+ED2=5,52+4,82AE^{2}+ED^{2}=5{,}5^{2}+4{,}8^{2}
    AE2+ED2=30,25+23,04AE^{2}+ED^{2}=30{,}25+23{,}04
    AE2+ED2=53,29AE^{2}+ED^{2}=53{,}29

    Or AD2=AE2+ED2{\color{blue}AD^{2}=AE^{2}+ED^{2}}
    Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEDAED est rectangle en EE.
    Question 2

    Calculer l'aire du triangle AEDAED.

    Correction
    • Aire d’un triangle=base×hauteur2\text{Aire d'un triangle}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2} ; dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont une base et la hauteur associée.
    D'après la question 1, le triangle AEDAED est rectangle en EE : le côté [AE][AE] est une base et le côté [ED][ED] est la hauteur associée.
    AireAED=AE×ED2\text{Aire}_{AED}=\dfrac{AE\times ED}{2}
    AireAED=5,5×4,82\text{Aire}_{AED}=\dfrac{5{,}5\times 4{,}8}{2}
    AireAED=26,42\text{Aire}_{AED}=\dfrac{26{,}4}{2}
    AireAED=13,2 cm2\text{Aire}_{AED}=13{,}2\ \text{cm}^{2}
    L'aire du triangle AEDAED est de 13,2 cm213{,}2\ \text{cm}^{2}.
    Question 3

    Pourquoi peut-on affirmer que les droites (BC)(BC) et (ED)(ED) sont parallèles ?

    Correction
    Le triangle ABCABC est rectangle en BB et les points BB, AA et EE sont alignés, donc (BC)⊥(BE)(BC)\perp(BE).
    D'après la question 1, le triangle AEDAED est rectangle en EE, donc (ED)⊥(BE)(ED)\perp(BE).
    • Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
    Ici, on a :
  • (BC)⊥(BE)(BC)\perp(BE)
  • (ED)⊥(BE)(ED)\perp(BE)
    • On peut donc en conclure que les droites (BC)(BC) et (ED)(ED) sont parallèles.
    Question 4

    Calculer la valeur exacte de la longueur ABAB.

    Correction
  • Les points BB, AA et EE sont alignés dans le même ordre que les points CC, AA et DD.
  • Les droites (BC)\left(BC\right) et (ED)\left(ED\right) (question 3) sont parallèles.
    • D'après le théorème de Thalès, on a :
    ABAE=ACAD=BCED\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{ED}. Nous allons remplacer par les mesures. Ainsi :
    AB5,5=AC7,3=7,24,8\dfrac{AB}{5{,}5}=\dfrac{AC}{7{,}3}=\dfrac{7{,}2}{4{,}8}
    À partir de AB5,5=7,24,8\dfrac{AB}{5{,}5}=\dfrac{7{,}2}{4{,}8} on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
    AB=5,5×7,24,8AB=\dfrac{5{,}5\times 7{,}2}{4{,}8}
    AB=8,25AB=8{,}25 cm
    La valeur exacte de la longueur ABAB est 8,258{,}25 cm.
    Question 5

    On admet que l'angle ACB^\widehat{ACB} mesure environ 49∘49^{\circ}. En déduire la mesure de l'angle ADE^\widehat{ADE}.

    Correction
    Les droites (BC)(BC) et (ED)(ED) sont parallèles (question 3) et elles sont coupées par la sécante (CD)(CD).
    Les angles ACB^\widehat{ACB} et ADE^\widehat{ADE} sont situés de part et d'autre de la sécante (CD)(CD) et entre les deux droites parallèles : ce sont des angles alternes-internes.
    • Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu'elles forment ont la même mesure.
    ADE^=ACB^≈49∘\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\approx 49^{\circ}
    L'angle ADE^\widehat{ADE} mesure environ 49∘49^{\circ}.

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