Réciproque du théorème de Pythagore

Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $AC=5$ cm .

Calculons d'une part :

$AC^{2} =5^{2}$

Calculons d'autre part :

$AB^{2} +BC^{2} =3^{2} +4^{2}$
$AB^{2} +BC^{2} =9+16$

Or ${\color{blue}AC^{2}=AB^{2} +BC^{2}}$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .

Dans le triangle $ROI$, le plus grand côté est $RI=110$ mm .

Calculons d'une part :

$RI^{2} =110^{2}$

Calculons d'autre part :

$RO^{2} +OI^{2} =66^{2} +88^{2}$
$RO^{2} +OI^{2} =4356+7744$

Or ${\color{blue}RI^{2}=RO^{2} +OI^{2}}$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ROI$ est rectangle en $O$ .

Dans le triangle $TUV$, le plus grand côté est $UV=5$ cm .

Calculons d'une part :

$UV^{2} =5^{2}$

Calculons d'autre part :

$TU^{2} +TV^{2} =4,9^{2} +1,4^{2}$
$TU^{2} +TV^{2} =24,01+1,96$

Or ${\color{red}UV^{2}\ne TU^{2} +TV^{2}}$
L'égalité de pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle $TUV$ n'est pas rectangle.

Dans le triangle $KRS$, le plus grand côté est $SR=17$ mm .

Calculons d'une part :

$SR^{2} =17^{2}$

Calculons d'autre part :

$KR^{2} +KS^{2} =16^{2} +11^{2}$
$KR^{2} +KS^{2} =256+121$

Or ${\color{red}SR^{2}\ne KR^{2} +KS^{2}}$
L'égalité de pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle $KRS$ n'est pas rectangle.

Dans le triangle $FIJ$, le plus grand côté est $FI=3,5$ cm .

Calculons d'une part :

$FI^{2} =3,5^{2}$

Calculons d'autre part :

$IJ^{2} +FJ^{2} =2,1^{2} +2,8^{2}$
$IJ^{2} +FJ^{2} =4,41+7,84$

Or ${\color{blue}FI^{2}=IJ^{2} +FJ^{2}}$
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $FIJ$ est rectangle en $J$.

Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $AC=16$ cm .

Calculons d'une part :

$AC^{2} =16^{2}$

Calculons d'autre part :

$BC^{2} +AB^{2} =13^{2} +10^{2}$
$BC^{2} +AB^{2} =169+100$

Or ${\color{red}AC^{2} \ne BC^{2} +AB^{2}}$
L'égalité de pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

Dans le triangle $DAK$, le plus grand côté est $DK=95$ mm .

Calculons d'une part :

$DK^{2} =95^{2}$

Calculons d'autre part :

$DA^{2} +AK^{2} =57^{2} +76^{2}$
$DA^{2} +AK^{2} =3249+5776$

Or ${\color{blue}DK^{2}=DA^{2} +AK^{2}}$
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $DAK$ est rectangle en $A$.

Dans le triangle $RTA$, le plus grand côté est $AT=61$ mm .

Calculons d'une part :

$AT^{2} =61^{2}$

Calculons d'autre part :

$RA^{2} +RT^{2} =60^{2} +11^{2}$
$RA^{2} +RT^{2} =3600+121$

Or ${\color{blue}AT^{2}=RA^{2} +RT^{2}}$
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $RTA$ est rectangle en $R$.

Dans le triangle $STU$, le plus grand côté est $TU=3,7$ cm .

Calculons d'une part :

$TU^{2} =3,7^{2}$

Calculons d'autre part :

$ST^{2} +SU^{2} =3,5^{2} +1,2^{2}$
$ST^{2} +SU^{2} =12,25+1,44$

Or ${\color{blue}TU^{2}=ST^{2} +SU^{2}}$
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $STU$ est rectangle en $S$.

Dans un premier temps, nous constatons que $WX=XY$, on peut donc en déduire que le triangle $WXY$ est isocèle en $X$.
$\textbf{Nous allons maintenant vérifier si le triangle peut être rectangle.}$
Dans le triangle $WXY$, le plus grand côté est $WY=5,5$ cm .

Calculons d'une part :

$WY^{2} =5,5^{2}$

Calculons d'autre part :

$WX^{2} +XY^{2} =4^{2} +4^{2}$
$WX^{2} +XY^{2} =16+16$

Or ${\color{red}WY^{2} \ne WX^{2} +XY^{2}}$
L'égalité de pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle $WXY$ n'est pas rectangle.
Donc le triangle $WXY$ est un triangle isocèle en $X$.

Dans un premier temps, nous constatons que $AF=AH$, on peut donc en déduire que le triangle $AFH$ est isocèle en $A$.
Nous allons maintenant vérifier si le triangle peut être rectangle.
Dans le triangle $AFH$, le plus grand côté est $FH=\sqrt{18}$ cm

Calculons d'une part :

$FH^{2} =(\sqrt{18} )^{2}$

Calculons d'autre part :

$AF^{2} +AH^{2} =3^{2} +3^{2}$
$AF^{2} +AH^{2} =9+9$

Or ${\color{blue}FH^{2}=AF^{2} +AH^{2}}$
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore $AFH$ est rectangle en $A$.
Alors ici on peut conclure que le triangle $AFH$ est rectangle et isocèle en $A$.