Métropole Antilles-Guyane 10 septembre 2026 - Exercice 1

20 min
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Le schéma ci-dessous représente un terrain SMVUSMVU. Il n'est pas à l'échelle.
On souhaite poser du gazon sur la partie rectangulaire STVUSTVU et cultiver un potager sur la partie triangulaire TMVTMV.
On désire également clôturer ce terrain SMVUSMVU avec du grillage en laissant une ouverture de 33 m pour le futur portail qui sera placé sur le côté [UV][UV].
Question 1

Justifier que la longueur TMTM est égale à 99 m.

Correction
  • Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur et ses quatre angles droits.
STVUSTVU est un rectangle, donc ST=UV=27ST=UV=27 m.
Les points SS, TT et MM sont alignés dans cet ordre, avec SM=36SM=36 m :
TM=SM−STTM=SM-ST
TM=36−27TM=36-27
TM=9TM=9 m
La longueur TMTM est bien égale à 99 m.
Question 2

Montrer que la longueur MVMV est égale à 1515 m.

Correction
Comme STVUSTVU est un rectangle, TV=SU=12TV=SU=12 m et l'angle STV^\widehat{STV} est droit : le triangle TMVTMV est rectangle en TT.
Comme le triangle TMVTMV est rectangle en TT avec TM=9TM=9 m et TV=12TV=12 m.
On peut appliquer le théorème de Pythagore :
MV2=TM2+TV2MV^{2}=TM^{2}+TV^{2}
donc :
MV2=92+122MV^{2}=9^{2}+12^{2}
MV2=81+144MV^{2}=81+144
MV2=225MV^{2}=225
Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de MVMV.
D'où :
MV=225MV=\sqrt{225}
Ainsi :
MV=15MV=15 m
La longueur MVMV est bien égale à 1515 m.
Question 3

Quelle longueur de grillage doit-on prévoir ?

Correction
On clôture tout le tour du terrain SMVUSMVU, c'est-à-dire son périmètre, sauf l'ouverture de 33 m du portail.
PSMVU=SM+MV+VU+US\mathcal{P}_{SMVU}=SM+MV+VU+US
PSMVU=36+15+27+12\mathcal{P}_{SMVU}=36+15+27+12
PSMVU=90\mathcal{P}_{SMVU}=90 m
On enlève l'ouverture du portail :
90−3=8790-3=87 m
On doit prévoir 8787 m de grillage.
Question 4

Montrer que la surface de la partie du terrain STVUSTVU recouverte de gazon est égale à 324 m2324\ \text{m}^{2}.

Correction
  • Aire d’un rectangle=Longueur×largeur\text{Aire d'un rectangle}=\text{Longueur}\times\text{largeur}
AireSTVU=UV×SU\text{Aire}_{STVU}=UV\times SU
AireSTVU=27×12\text{Aire}_{STVU}=27\times 12
AireSTVU=324 m2\text{Aire}_{STVU}=324\ \text{m}^{2}
La surface recouverte de gazon est bien égale à 324 m2324\ \text{m}^{2}.
Question 5
Le cadre ci-dessous donne les informations que l'on peut lire sur l'étiquette d'un rouleau de gazon.

On veut recouvrir de gazon le rectangle STVUSTVU.
Un budget de 3 5003\,500 € est-il suffisant ?
Détailler la réponse en précisant la démarche.

Correction
1°) Calculons dans un premier temps la surface d'un rouleau une fois déroulé :
Un rouleau déroulé est un rectangle de 44 m sur 22 m :
Airerouleau=4×2=8 m2\text{Aire}_{\text{rouleau}}=4\times 2=8\ \text{m}^{2}
2°) Calculons dans un second temps le nombre de rouleaux nécessaires :
3248=40,5\dfrac{324}{8}=40{,}5
4040 rouleaux ne suffisent pas (40×8=320 m2<324 m240\times 8=320\ \text{m}^{2}\lt 324\ \text{m}^{2}) : il faut acheter 4141 rouleaux.
3°) Calculons enfin le prix à payer :
41×86=3 52641\times 86=3\,526 €
3 5263\,526 € >3 500\gt 3\,500 €
On peut donc conclure que le budget de 3 5003\,500 € n'est pas suffisant : il manque 2626 €.

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