Fiche de cours sur le théorème de Pythagore

LE THEOREME DE PYTHAGORE

Deˊfinition\small\text{\color{blue}\underline{Définition}}

Définition 1
  • Dans un triangle rectangle, le carreˊ de l’hypoteˊnuse est eˊgal aˋ la somme des carreˊs des deux autres coˆteˊs.\footnotesize\text{{\color{red}\underline{Dans un triangle rectangle}}, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.}
Important : le theˊoreˋme de Pythagore ne s’applique que dans la condition suivante :\footnotesize \text{\underline{Important} : le théorème de Pythagore ne s'applique que dans la condition suivante :} Pour calculer la longueur d’un coˆteˊ d’un triangle rectangle, (L’hypoteˊnuse, ou l’un des coˆteˊs de l’angle droit). lorsque l’on connait 2 longueurs.\footnotesize \text{Pour {\color{red}\underline{calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle,}} (L'hypoténuse, ou l'un des côtés de l'angle droit). lorsque l'on connait 2 longueurs.}

Meˊthode aˋ l’aide d’un exemple pour calculer la longueur de l’hypoteˊnuse dans un triangle rectangle.\small\text{\color{blue}\underline{Méthode à l'aide d'un exemple pour calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} On consideˋre un triangle CAB rectangle en A avec BA = 5 cm et CA = 12 cm. Calculer BC.\footnotesize \text{On considère un triangle CAB rectangle en A avec BA = 5 cm et CA = 12 cm. Calculer BC.} Ici, on se pose la question a-t-on un triangle rectangle? et connait-on deux longueurs? si oui on peut appliquer le theˊoreˋme de Pythagore.\color{black}\footnotesize\underline{\text{Ici, on se pose la question a-t-on un triangle rectangle? et connait-on deux longueurs? si oui on peut appliquer le théorème de Pythagore.}} Il faut penser aˋ effectuer un croquis si la figure n’est pas reˊaliseˊ.\footnotesize\text{\color{blue}Il faut penser à effectuer un croquis si la figure n'est pas réalisé.}
Comme le triangle ACB est rectangle en A avec AC = 12 cm et AB = 5 cm. On peut appliquer le theˊoreˋme de Pythagore :\footnotesize\text{Comme le triangle ACB est {\color{red}rectangle en A} avec AC = 12 cm et AB = 5 cm. On peut appliquer {\color{red}le théorème de Pythagore :}} BC2=CA2+BA2\footnotesize{BC^{2} =CA^{2} +BA^{2}} donc BC2=122+52\footnotesize{BC^{2} =12^{2} +5^{2}} BC2=144+25\footnotesize{BC^{2} =144+25} BC2=169\footnotesize{BC^{2} =169} . Nous allons utiliser la racine carreˊe pour deˊterminer la mesure de BC\footnotesize\text{Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de BC}. D'où : BC=169\footnotesize{BC=\sqrt{169}} Ainsi :
BC=13cm\footnotesize{BC=13}\;cm
La mesure de BC est donc de 13 cm .\footnotesize\text{La mesure de BC est donc de 13 cm .}

Meˊthode aˋ l’aide d’un exemple pour calculer la longueur d’un des coˆteˊs de l’angle droit dans un triangle rectangle.\small\text{\color{blue}\underline{Méthode à l'aide d'un exemple pour calculer la longueur d'un des côtés de l'angle droit dans un triangle rectangle.}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} On consideˋre un triangle IJK rectangle en I avec JK = 10 cm et IJ = 8 cm. Calculer IK.\footnotesize \text{On considère un triangle IJK rectangle en I avec JK = 10 cm et IJ = 8 cm. Calculer IK.} Ici, on se pose la question a-t-on un triangle rectangle? et connait-on deux longueurs? si oui on peut appliquer le theˊoreˋme de Pythagore.\color{black}\footnotesize\underline{\text{Ici, on se pose la question a-t-on un triangle rectangle? et connait-on deux longueurs? si oui on peut appliquer le théorème de Pythagore.}} Il faut penser aˋ effectuer un croquis si la figure n’est pas reˊaliseˊ.\footnotesize\text{\color{blue}Il faut penser à effectuer un croquis si la figure n'est pas réalisé.}
Comme le triangle IJK est rectangle en I avec JK = 10 cm et IJ = 8 cm. On peut appliquer le theˊoreˋme de Pythagore :\footnotesize\text{Comme le triangle IJK est {\color{red}rectangle en I} avec JK = 10 cm et IJ = 8 cm. On peut appliquer {\color{red}le théorème de Pythagore :}} JK2=IJ2+IK2\footnotesize{JK^{2}= IJ^{2} +IK^{2}} Rappel dans le cas ou l’on recherche un coˆteˊ de l’angle droit : \footnotesize\text{\color{blue}\underline{Rappel dans le cas ou l'on recherche un côté de l'angle droit : }}(Le coˆteˊ que l’on recherche\footnotesize\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\footnotesize\text{l'hypoténuse})2^{2} - (le coteˊ que l’on connait\footnotesize\text{le coté que l'on connait} )2^{2} .On a alors :\footnotesize\text{On a alors :} IK2=JK2IJ2\footnotesize{IK^{2} =JK^{2} -IJ^{2}} IK2=10282\footnotesize{IK^{2} =10^2-8^2} IK2=10064\footnotesize{IK^{2} =100-64} IK2=36\footnotesize{IK^{2} =36} . Nous allons utiliser la racine carreˊe pour deˊterminer la mesure de IK\footnotesize\text{Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de IK}. D'où : IK=36\footnotesize{IK=\sqrt{36}} Ainsi :
IK=6cm\footnotesize{IK=6\;cm}
La mesure de IK est donc de 6 cm .\footnotesize\text{La mesure de IK est donc de 6 cm .}