Fiche de cours sur la réciproque du théorème de Pythagore

LA RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Deˊfinition\small\text{\color{blue}\underline{Définition}}

Définition 1
  • Si dans un triangle, le carreˊ du plus grand coˆteˊ est eˊgal aˋ la somme des carreˊs des deux autres coˆteˊs alors ce triangle est rectangle.\footnotesize \text{Si dans un triangle, {\color{red}\underline{le carré du plus grand côté}} {\color{black}est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.}} (Ici on veˊrifie que l’eˊgaliteˊ de Pythagore fonctionne).\footnotesize \text{(Ici on vérifie que l'égalité de Pythagore fonctionne).} Dans le cas ouˋ l’eˊgaliteˊ de Pythagore n’est pas reˊaliseˊe alors on pourra conclure que le triangle n’est pas rectangle.\footnotesize \text{Dans le cas où l’égalité de Pythagore n’est pas réalisée alors on pourra conclure que le triangle n’est pas rectangle.} Important : Pour appliquer la reˊciproque de Pythagore, on raisonnera de la manieˋre suivante :\footnotesize \text{\color{blue}\underline{Important} : Pour appliquer la réciproque de Pythagore, on raisonnera de la manière suivante :} .
  • En premier lieu, on preˊcise toujours dans quel triangle on travail.\footnotesize \text{En premier lieu, on précise toujours {\underline{dans quel triangle on travail.}}}
  • Ensuite on identifie le plus grand coˆteˊ du triangle, et on calcul son carreˊ.\footnotesize \text{Ensuite on identifie {\underline{le plus grand côté du triangle}}, et on calcul son carré.}
  • Apreˋs on calcul le carreˊ des deux autres coˆteˊs, et on les additionne.\footnotesize \text{Après on calcul le carré des deux autres côtés, et on les additionne.}
  • Et pour finir on conclut : \footnotesize \text{Et pour finir on conclut : } Si les reˊsultats sont eˊgaux d’apreˋs la reˊciproque du theˊoreˋme de Pythagore le triangle est rectangle, dans le cas contraire, il ne l’est pas .\footnotesize \text{Si les résultats sont égaux d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle, dans le cas contraire, il ne l'est pas .}

Exemple 1 :\small\text{\color{blue}\underline{Exemple 1 :}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} On consideˋre un triangle DEF avec DE = 10 cm, DF = 8 cm et EF= 6 cm. Deˊmontrer que le triangle DEF est rectangle en F.\footnotesize \text{On considère un triangle DEF avec DE = 10 cm, DF = 8 cm et EF= 6 cm. Démontrer que le triangle DEF est rectangle en F.} Dans le cas de la reˊciproque du theˊoreˋme de Pythagore, il n’est pas neˊcessaire d’effectuer un croquis.\color{black}\footnotesize\underline{\text{Dans le cas de la réciproque du théorème de Pythagore, il n'est pas nécessaire d'effectuer un croquis.}} 1°) Dans un premier temps, on indique dans quel triangle on travail, et quel est le plus grand coˆteˊ.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{1°) Dans un premier temps, on indique dans quel triangle on travail, et quel est le plus grand côté.}} Dans le triangle DEF, le plus grand coˆteˊ est DE=10 cm.\footnotesize \text{Dans le triangle DEF, le plus grand côté est DE=10 cm.} 2°) On calcul le carreˊ du plus grand coˆteˊ.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{2°) On calcul le carré du plus grand côté.}} DE2=102=100\footnotesize{DE^2=10^2=100} 3°) On calcul le carreˊ des 2 autres coˆteˊs, et on les additionne.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{3°) On calcul le carré des 2 autres côtés, et on les additionne.}} DF2=82=64\footnotesize{DF^2=8^2=64}. EF2=62=36.\footnotesize{EF^2=6^2=36}. DF2+EF2=64+36=100\footnotesize{DF^2+EF^2}=64+36=100 4°) On conclut.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{4°) On conclut.}}  Ici on constate que \footnotesize\text{ Ici on constate que } DE2=DF2+EF2\footnotesize{\color{red}DE^2=DF^2+EF^2}  Donc d’apreˋs la reˊciproque du theˊoreˋme de Pythagore le triangle DEF est rectangle en F.\footnotesize\text{ Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle DEF est rectangle en F.}

Exemple 2 :\small\text{\color{blue}\underline{Exemple 2 :}}

Exemple :\pink{\text{Exemple :}} On consideˋre un triangle IJK avec IJ = 11 cm, JK = 5 cm et IK= 9 cm. Le triangle IJK est-il rectangle ?\footnotesize \text{On considère un triangle IJK avec IJ = 11 cm, JK = 5 cm et IK= 9 cm. Le triangle IJK est-il rectangle ?} Dans le cas de la reˊciproque du theˊoreˋme de Pythagore, il n’est pas neˊcessaire d’effectuer un croquis.\color{black}\footnotesize\underline{\text{Dans le cas de la réciproque du théorème de Pythagore, il n'est pas nécessaire d'effectuer un croquis.}} 1°) Dans un premier temps, on indique dans quel triangle on travail, et quel est le plus grand coˆteˊ.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{1°) Dans un premier temps, on indique dans quel triangle on travail, et quel est le plus grand côté.}} Dans le triangle IJK, le plus grand coˆteˊ est IJ=11 cm.\footnotesize \text{Dans le triangle IJK, le plus grand côté est IJ=11 cm.} 2°) On calcul le carreˊ du plus grand coˆteˊ.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{2°) On calcul le carré du plus grand côté.}} IJ2=112=121\footnotesize{IJ^2=11^2=121} 3°) On calcul le carreˊ des 2 autres coˆteˊs, et on les additionne.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{3°) On calcul le carré des 2 autres côtés, et on les additionne.}} JK2=52=25\footnotesize{JK^2=5^2=25}. IK2=92=81.\footnotesize{IK^2=9^2=81}. JK2+IK2=25+81=106\footnotesize{JK^2+IK^2}=25+81=106 4°) On conclut.\footnotesize\text{\color{blue}\underline{4°) On conclut.}}  Ici on constate que \footnotesize\text{ Ici on constate que } IJ2JK2+IK2.\footnotesize{\color{red}IJ^2\ne JK^2+IK^2}.  L’eˊgaliteˊ de Pythagore n’est pas veˊrifieˊe, donc le triangle IJK n’est pas rectangle.\footnotesize\text{ L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle IJK n'est pas rectangle.} On pourrait eˊgalement dire d’apreˋs la contraposeˊe du theˊoreˋme de pythagore le triangle IJK n’est pas rectangle.\footnotesize\text{On pourrait également dire d'après la contraposée du théorème de pythagore le triangle IJK n'est pas rectangle.}