Théorème de Pythagore et sa réciproque

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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Question 1
Sur le dessin ci-dessous, les points A,A, BB et EE sont alignés, et CC le milieu de [BD].[BD].

Quelle est la nature du triangle ABC?ABC? Justifier.

Correction
On sait que CC est le milieu de [BD].[BD]. Par conséquent on a : BC=CD=3  cm.BC=CD=3\;cm.
Dans le triangle ABCABC, le plus grand côté est AC=5AC=5 cm .
  • Calculons d'une part :
  • AC2=52AC^{2} =5^{2}
    AC2=25AC^{2} =25
  • Calculons d'autre part :
  • AB2+BC2=32+42AB^{2} +BC^{2} =3^{2} +4^{2}
    AB2+BC2=9+16AB^{2} +BC^{2} =9+16
    AB2+BC2=25AB^{2} +BC^{2} =25

    Or AC2=AB2+BC2{\color{blue}AC^{2}=AB^{2} +BC^{2}}
    Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABCABC est rectangle en BB .
    Question 2

    En déduire la nature du triangle BDE.BDE.

    Correction
    On à démontré à la question précédente que le triangle ABCABC est rectangle en BB d'où : ABC^=90°.\widehat{ABC}=90\degree.
    De plus on sait que les points A,A, BB et EE sont alignés. On peut donc en déduire que ABE^=180°.\widehat{ABE}=180\degree.
    Par conséquent DBE^=180°90°=90°.\widehat{DBE}=180\degree-90\degree=90\degree.
    On peut donc conclure que le triangle BDE est rectangle en B.
    Question 3

    Calculer DEDE. Arrondir le résultat au dixième.

    Correction
    Comme le triangle DBEDBE est rectangle en BB avec DB=6DB = 6 cm et BE=7BE = 7 cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
    DE2=DB2+BE2DE^{2} =DB^{2} +BE^{2}
    donc DE2=62+72DE^{2} =6^{2} +7^{2}
    DE2=36+49DE^{2} =36+49
    DE2=85DE^{2} =85 . Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de DEDE.
    D'où : DE=85DE=\sqrt{85}
    Ainsi :
    DE9,219DE\approx9,219 cm

    La mesure de DEDE est donc de 9,29,2 cm . (Arrondi au dixième près.)