Exercices types : 2e partie : des problèmes plus difficiles - Exercice 4

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Modifier toutes les notes
Un contrôle était noté sur 1616. Les 2525 notes de la classe ont pour moyenne 9,69{,}6, pour médiane 1010 et pour étendue 1414.
Question 1

Pour ramener les notes sur 2020, le professeur multiplie toutes les notes par 1,251{,}25. Calculer la nouvelle moyenne, la nouvelle médiane et la nouvelle étendue.

Correction
Toutes les notes sont multipliées par 1,251{,}25 (on vérifie : 16×1,25=2016\times 1{,}25=20).
  • Moyenne : la somme des notes est multipliée par 1,251{,}25, donc la moyenne aussi : 9,6×1,25=129{,}6\times 1{,}25=12.
  • Médiane : l'ordre des notes ne change pas, donc la note du milieu est elle aussi multipliée par 1,251{,}25 : 10×1,25=12,510\times 1{,}25=12{,}5.
  • Étendue : la plus grande et la plus petite note sont multipliées par 1,251{,}25, donc leur différence aussi : 14×1,25=17,514\times 1{,}25=17{,}5.
moyenne : 1212 ; médiane : 12,512{,}5 ; étendue : 17,517{,}5
Question 2

Une collègue propose plutôt d'ajouter 44 points à chaque note. Que deviennent la moyenne, la médiane et l'étendue ?

Correction
  • Moyenne : la somme des 2525 notes augmente de 25×4=10025\times 4=100, donc la moyenne augmente de 10025=4\dfrac{100}{25}=4 : 9,6+4=13,69{,}6+4=13{,}6.
  • Médiane : l'ordre des notes ne change pas : 10+4=1410+4=14.
  • Étendue : la plus grande et la plus petite note augmentent toutes les deux de 44, donc leur différence ne change pas : l'étendue reste égale à 1414.
moyenne : 13,613{,}6 ; médiane : 1414 ; étendue : 1414
Question 3

On note xx une note sur 1616. Montrer que la seconde méthode donne toujours une note au moins aussi élevée que la première.

Correction
Avec la première méthode, la note devient 1,25x1{,}25x ; avec la seconde, elle devient x+4x+4. On étudie le signe de la différence :
(x+4)−1,25x=4−0,25x\left(x+4\right)-1{,}25x=4-0{,}25x
Comme la note est sur 1616, on a x≤16x\leq 16, donc 0,25x≤0,25×160{,}25x\leq 0{,}25\times 16, c'est-à-dire 0,25x≤40{,}25x\leq 4.
Ainsi 4−0,25x≥04-0{,}25x\geq 0, c'est-à-dire x+4≥1,25xx+4\geq 1{,}25x.
La seconde méthode donne toujours une note au moins aussi élevée que la première.

Les deux méthodes donnent la même note seulement pour x=16x=16 (elles donnent toutes les deux 2020).

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