Exercices types : 2e partie : des problèmes plus difficiles - Exercice 3

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Retrouver une série
On cherche une série de 55 notes entières (sur 2020) qui vérifie les trois conditions suivantes :
  • la moyenne est égale à 1212 ;
  • la médiane est égale à 1313 ;
  • l'étendue est égale à 1010.
On note a≤b≤c≤d≤ea\leq b\leq c\leq d\leq e les cinq notes, rangées dans l'ordre croissant.
Question 1

Calculer la somme des cinq notes, puis donner la valeur de cc.

Correction
  • Si une série d'effectif NN a pour moyenne x‾\overline{x}, alors la somme de ses valeurs est égale à N×x‾N\times\overline{x}.
    • La moyenne des 55 notes est 1212, donc leur somme est 5×12=605\times 12=60.
    Les notes sont rangées dans l'ordre croissant et l'effectif 55 est impair : la médiane est la 3e3^{\text{e}} valeur, c'est-à-dire cc.
    a+b+c+d+e=60a+b+c+d+e=60 et c=13c=13
    Question 2

    Proposer une série de cinq notes qui convient.

    Correction
    On choisit par exemple la plus petite note a=6a=6. Comme l'étendue est 1010, la plus grande note est e=6+10=16e=6+10=16.
    Il reste b+d=60−6−13−16=25b+d=60-6-13-16=25, avec b≤13b\leq 13 et 13≤d≤1613\leq d\leq 16. On peut prendre b=11b=11 et d=14d=14 :
    Vérification : 6+11+13+14+165=605=12\dfrac{6+11+13+14+16}{5}=\dfrac{60}{5}=12 ; la médiane est 1313 ; l'étendue est 16−6=1016-6=10.
    La série 66 ; 1111 ; 1313 ; 1414 ; 1616 convient.

    Il existe d'autres séries qui conviennent, par exemple 77 ; 1010 ; 1313 ; 1313 ; 1717.
    Question 3

    La plus petite note peut-elle être égale à 44 ?

    Correction
    Si a=4a=4, alors la plus grande note est e=4+10=14e=4+10=14, et b+d=60−4−13−14=29b+d=60-4-13-14=29.
    Or b≤13b\leq 13 (car b≤cb\leq c) et d≤14d\leq 14 (car d≤ed\leq e), donc b+d≤13+14b+d\leq 13+14, c'est-à-dire b+d≤27b+d\leq 27.
    C'est impossible, puisque 29>2729\gt 27.
    La plus petite note ne peut pas être égale à 44.
    Question 4

    Quelle est la plus grande valeur possible de la plus petite note ? Donner alors la série.

    Correction
    Comme e=a+10e=a+10 et c=13c=13, la somme des notes s'écrit a+b+13+d+a+10=60a+b+13+d+a+10=60, c'est-à-dire 2a+b+d=372a+b+d=37.
    Or b≥ab\geq a et d≥13d\geq 13 (car d≥cd\geq c), donc 2a+b+d≥2a+a+132a+b+d\geq 2a+a+13, c'est-à-dire 37≥3a+1337\geq 3a+13.
    On en déduit 3a≤243a\leq 24, donc a≤8a\leq 8.
    Pour a=8a=8 : e=18e=18 et b+d=37−16=21b+d=37-16=21, avec b≥8b\geq 8 et d≥13d\geq 13. La seule possibilité est b=8b=8 et d=13d=13 :
    La plus petite note vaut au plus 88 ; la série est alors 88 ; 88 ; 1313 ; 1313 ; 1818.

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