Exercices types : 2e partie : des problèmes plus difficiles - Exercice 1

18 min
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Atteindre une moyenne
Au premier trimestre, Inès a obtenu les notes suivantes en mathématiques ; toutes ces notes ont le même coefficient :
Il reste un dernier contrôle avant la fin du trimestre.
Question 1

Calculer la moyenne actuelle d'Inès.

Correction
  • Pour calculer une moyenne simple, il suffit de diviser la somme totale des valeurs par l'effectif total.
    • x‾=12+9+14+114\overline{x}=\dfrac{12+9+14+11}{4}
    x‾=464\overline{x}=\dfrac{46}{4}
    x‾=11,5\overline{x}=11{,}5
    Question 2

    Quelle note doit-elle obtenir au dernier contrôle pour avoir exactement 1212 de moyenne ?

    Correction
    On note xx la note du dernier contrôle. La somme des 55 notes est alors 46+x46+x, et la moyenne vaut 46+x5\dfrac{46+x}{5}.
    On veut que 46+x5=12\dfrac{46+x}{5}=12, ce qui équivaut successivement à :
    46+x=12×546+x=12\times 5
    46+x=6046+x=60
    x=60−46x=60-46
    x=14x=14

    Vérification : 46+145=605=12\dfrac{46+14}{5}=\dfrac{60}{5}=12.
    Inès doit obtenir 1414 au dernier contrôle.
    Question 3

    Inès peut-elle obtenir une moyenne de 1414 ?

    Correction
    On résout de même 46+x5=14\dfrac{46+x}{5}=14, ce qui équivaut successivement à :
    46+x=14×546+x=14\times 5
    46+x=7046+x=70
    x=70−46x=70-46
    x=24x=24
    Or une note sur 2020 ne peut pas dépasser 2020, et 24>2024\gt 20.
    Inès ne peut pas obtenir 1414 de moyenne.

    Même avec 2020 au dernier contrôle, sa moyenne serait seulement 46+205=665=13,2\dfrac{46+20}{5}=\dfrac{66}{5}=13{,}2.
    Question 4

    Le professeur annonce finalement que le dernier contrôle aura le coefficient 22. Quelle note Inès doit-elle obtenir pour avoir 1212 de moyenne ?

    Correction
  • Lorsque les notes ont des coefficients, chaque note compte autant de fois que son coefficient : on additionne les produits « note ×\times coefficient », puis on divise par la somme des coefficients.
    • Avec le coefficient 22, la note xx compte deux fois : la somme des notes multipliées par leurs coefficients est 46+2x46+2x, et la somme des coefficients est 4+2=64+2=6.
    On veut que 46+2x6=12\dfrac{46+2x}{6}=12, ce qui équivaut successivement à :
    46+2x=12×646+2x=12\times 6
    46+2x=7246+2x=72
    2x=72−462x=72-46
    2x=262x=26
    x=262x=\dfrac{26}{2}
    x=13x=13

    Vérification : 46+2×136=726=12\dfrac{46+2\times 13}{6}=\dfrac{72}{6}=12.
    Il lui suffit alors d'obtenir 1313.

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