Données regroupées en classes : histogramme et moyenne - Exercice 1

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COMPÉTENCES : Lire et interpréter des données sous forme d’histogramme.
Une entreprise a relevé le temps de trajet tt (en minutes) entre le domicile et le travail de ses 5050 salariés. Les résultats sont donnés par l'histogramme ci-dessous.
Question 1

Combien de salariés mettent moins de 2020 minutes ?

Correction
  • Dans un histogramme, chaque classe est représentée par un rectangle, et les rectangles sont accolés. Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, la hauteur de chaque rectangle donne l'effectif de la classe.
    • Les salariés qui mettent moins de 2020 minutes sont dans les classes 0≤t<100\leq t\lt 10 et 10≤t<2010\leq t\lt 20.
    8+15=238+15=23
    2323 salariés mettent moins de 2020 minutes.
    Question 2

    Quel pourcentage des salariés mettent au moins 3030 minutes ?

    Correction
  • Pour calculer le pourcentage que représente un nombre AA par rapport à un nombre total BB : pourcentage=nombre Anombre total B×100\color{red}\boxed{\text{pourcentage}=\dfrac{\text{nombre } A}{\text{nombre total } B}\times 100}
    • Les salariés qui mettent au moins 3030 minutes sont dans les classes 30≤t<4030\leq t\lt 40 et 40≤t<5040\leq t\lt 50 : 10+5=1510+5=15 salariés.
    1550×100=30\dfrac{15}{50}\times 100=30
    30  %30\;\% des salariés mettent au moins 3030 minutes.
    Question 3

    Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec le centre de chaque classe, puis calculer une valeur approchée du temps de trajet moyen.

    Correction
    • Lorsque les valeurs sont regroupées en classes, on ne connaît pas les valeurs exactes.
    • Pour calculer une valeur approchée de la moyenne, on remplace chaque classe par son centre : le centre de la classe a≤t<ba\leq t\lt b est a+b2\dfrac{a+b}{2}.
    Le centre de la classe 0≤t<100\leq t\lt 10 est 0+102=5\dfrac{0+10}{2}=5 ; celui de la classe 10≤t<2010\leq t\lt 20 est 10+202=15\dfrac{10+20}{2}=15, et ainsi de suite :
    On remplace chaque classe par son centre, puis on calcule la moyenne pondérée par les effectifs :
    x‾≈5×8+15×15+25×12+35×10+45×550\overline{x}\approx\dfrac{5\times 8+15\times 15+25\times 12+35\times 10+45\times 5}{50}
    x‾≈40+225+300+350+22550\overline{x}\approx\dfrac{40+225+300+350+225}{50}
    x‾≈1  14050\overline{x}\approx\dfrac{1\;140}{50}
    x‾≈22,8\overline{x}\approx 22{,}8

    Le temps de trajet moyen est d'environ 22,822{,}8 minutes.
    Question 4

    Pourquoi le résultat de la question 3 n'est-il qu'une valeur approchée de la moyenne ?

    Correction
    Dans chaque classe, on a fait comme si tous les salariés avaient le même temps de trajet, égal au centre de la classe. Par exemple, les 88 salariés de la classe 0≤t<100\leq t\lt 10 ont été comptés avec 55 minutes, alors que leurs temps réels peuvent être de 22 minutes ou de 99 minutes.
    On ne connaît pas les valeurs exactes de la série : on ne peut donc obtenir qu'une valeur approchée de la moyenne.
    Question 5

    Dans quelle classe se trouve le temps de trajet médian ? Interpréter ce résultat.

    Correction
  • La médiane est la valeur qui partage la série en deux parties de même effectif (valeur centrale) lorsque toutes les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant : il y a autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures.
    • L'effectif total est 5050, qui est pair : la médiane est la moyenne de la 25e25^{\text{e}} et de la 26e26^{\text{e}} valeur de la série ordonnée. On ajoute au tableau la ligne des effectifs cumulés croissants :
    La 25e25^{\text{e}} et la 26e26^{\text{e}} valeur sont dans la classe 20≤t<3020\leq t\lt 30.
    Le temps de trajet médian est compris entre 2020 et 3030 minutes.

    Interprétation : au moins la moitié des salariés mettent moins de 3030 minutes, et au moins la moitié mettent 2020 minutes ou plus.

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