Comparer et interpréter des séries statistiques - Exercice 2

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COMPÉTENCES : Calculer et interpréter des indicateurs de position ; comprendre l’effet d’une valeur extrême.
Voici les salaires mensuels nets (en euros) des 77 employés d'une petite entreprise :
Question 1

Calculer le salaire moyen (arrondi au centime) et le salaire médian de ces 77 employés.

Correction
  • Pour calculer une moyenne simple, il suffit de diviser la somme totale des valeurs par l'effectif total.
  • La médiane est la valeur qui partage la série en deux parties de même effectif (valeur centrale) lorsque toutes les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant : il y a autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures.
    • x‾=1  500+1  600+1  600+1  700+1  800+1  900+2  1007\overline{x}=\dfrac{1\;500+1\;600+1\;600+1\;700+1\;800+1\;900+2\;100}{7}
    x‾=12  2007\overline{x}=\dfrac{12\;200}{7}
    x‾≈1  742,86\overline{x}\approx 1\;742{,}86

    L'effectif 77 est impair : la médiane est la valeur de rang 7+12=4\dfrac{7+1}{2}=4 (la série est rangée dans l'ordre croissant).
    meˊdiane=1  700\text{médiane}=1\;700

    Le salaire moyen est d'environ 1  742,861\;742{,}86 € et le salaire médian est de 1  7001\;700 €.
    Question 2

    On ajoute à cette série le salaire du directeur : 8  2008\;200 euros. Calculer le nouveau salaire moyen et le nouveau salaire médian.

    Correction
    La nouvelle série compte 88 valeurs, et la somme des 77 premiers salaires vaut 12  20012\;200 (question 1).
    x‾=12  200+8  2008\overline{x}=\dfrac{12\;200+8\;200}{8}
    x‾=20  4008\overline{x}=\dfrac{20\;400}{8}
    x‾=2  550\overline{x}=2\;550

    L'effectif 88 est pair : la médiane est la moyenne de la 4e4^{\text{e}} et de la 5e5^{\text{e}} valeur.
    meˊdiane=1  700+1  8002\text{médiane}=\dfrac{1\;700+1\;800}{2}
    meˊdiane=1  750\text{médiane}=1\;750

    Le salaire moyen passe à 2  5502\;550 €, alors que le salaire médian ne passe qu'à 1  7501\;750 €.
    Question 3

    Combien de personnes de l'entreprise gagnent plus que le nouveau salaire moyen ? Quel indicateur représente le mieux le salaire « habituel » dans cette entreprise ?

    Correction
    Seul le directeur gagne plus de 2  5502\;550 € : 11 personne sur 88 gagne plus que le salaire moyen ! Le salaire moyen a été « tiré vers le haut » par une seule valeur très éloignée des autres (une valeur extrême).
    La médiane, elle, n'a presque pas bougé : elle est peu sensible aux valeurs extrêmes.
    C'est la médiane (1  7501\;750 €) qui représente le mieux le salaire habituel dans cette entreprise.
    Question 4

    Comment l'étendue des salaires a-t-elle évolué ?

    Correction
  • L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série statistique.
    • Avant : 2  100−1  500=6002\;100-1\;500=600 ; après : 8  200−1  500=6  7008\;200-1\;500=6\;700.
    L'étendue passe de 600600 € à 6  7006\;700 € : elle est, elle aussi, très sensible à une valeur extrême.

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