Puissances d'un nombre relatif : définition et calculs - Exercice 1

6 min

COMPÉTENCES : Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes.
Calculer.

Question 1

$2^{5}$

Correction

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n\ge 1$ : $a^{n}=\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ facteurs}}$ .
Par convention : $a^{1}=a$ et, si $a\neq 0$ , $a^{0}=1$ .

2^{5}

équivaut successivement à :

2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2

2^{5}=32

Question 2

$\left(-3\right)^{4}$

Correction

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n\ge 1$ : $a^{n}=\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ facteurs}}$ .
Par convention : $a^{1}=a$ et, si $a\neq 0$ , $a^{0}=1$ .

Un produit de facteurs non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, et négatif si ce nombre est impair.

\left(-3\right)^{4}

équivaut successivement à :

\left(-3\right)^{4}=\left(-3\right)\times\left(-3\right)\times\left(-3\right)\times\left(-3\right)

Il y a

4

facteurs négatifs :

4

est pair, donc le résultat est positif.

\left(-3\right)^{4}=81

Question 3

$-3^{4}$

Correction

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n\ge 1$ : $a^{n}=\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ facteurs}}$ .
Par convention : $a^{1}=a$ et, si $a\neq 0$ , $a^{0}=1$ .

Dans l'écriture

-3^{4}

, l'exposant

4

ne porte que sur le nombre

3

-3^{4}=-\left(3^{4}\right)

.
À ne pas confondre avec

\left(-3\right)^{4}

, où les parenthèses indiquent que l'exposant porte sur

-3

-3^{4}

équivaut successivement à :

-3^{4}=-\left(3\times 3\times 3\times 3\right)

-3^{4}=-\left(81\right)

-3^{4}=-81

On remarque que

-3^{4}\neq\left(-3\right)^{4}

Question 4

$\left(-2\right)^{3}$

Correction

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n\ge 1$ : $a^{n}=\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ facteurs}}$ .
Par convention : $a^{1}=a$ et, si $a\neq 0$ , $a^{0}=1$ .

Un produit de facteurs non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, et négatif si ce nombre est impair.

\left(-2\right)^{3}

équivaut successivement à :

\left(-2\right)^{3}=\left(-2\right)\times\left(-2\right)\times\left(-2\right)

Il y a

3

facteurs négatifs :

3

est impair, donc le résultat est négatif. De plus,

2\times 2\times 2=8

\left(-2\right)^{3}=-8

Question 5

$1{,}5^{2}$

Correction

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n\ge 1$ : $a^{n}=\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ facteurs}}$ .
Par convention : $a^{1}=a$ et, si $a\neq 0$ , $a^{0}=1$ .

1{,}5^{2}

équivaut successivement à :

1{,}5^{2}=1{,}5\times 1{,}5

1{,}5^{2}=2{,}25

Question 6

$7^{1}$ et $7^{0}$

Correction

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n\ge 1$ : $a^{n}=\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ facteurs}}$ .
Par convention : $a^{1}=a$ et, si $a\neq 0$ , $a^{0}=1$ .

Par convention :

7^{1}=7

7^{0}=1

Pour comprendre la convention $7^{0}=1$ :

7^{3}=343

;

7^{2}=49

;

7^{1}=7

. Chaque fois que l'exposant diminue de

1

, on divise par

7

.
En divisant encore par

7

7^{0}=7\div 7=1

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Puissances d'un nombre relatif : définition et calculs - Exercice 1

252^{5}25

(−3)4\left(-3\right)^{4}(−3)4

−34-3^{4}−34

(−2)3\left(-2\right)^{3}(−2)3

1,521{,}5^{2}1,52

717^{1}71 et 707^{0}70

$2^{5}$

$\left(-3\right)^{4}$

$-3^{4}$

$\left(-2\right)^{3}$

$1{,}5^{2}$

$7^{1}$ et $7^{0}$