Donner une notation scientifique d'un nombre décimal - Exercice 4

14 min
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COMPETENCES :
1°)Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes.
2°) Calculer et exprimer les résultats dans les unités adaptées.
Question 1
Dans chaque cas, donner l'écriture décimale et la notation scientifique.

A=36×104×10−548×103A=\frac{36\times 10^{4} \times 10^{-5} }{48\times 10^{3} }

Correction
1°) Déterminons l'écriture décimale de A :
A=36×104×10−548×103A=\frac{36\times 10^{4} \times 10^{-5} }{48\times 10^{3} }     \;\; équivaut à :
A=3648×104×10−5103A={\frac{36}{48}}\times{\frac{10^4\times{10^{-5}}}{10^3}}
A=0,75×104+(−5)103A=0,75\times{\frac{10^{4+(-5)}}{10^3}}   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;En effet : 10a×10b=10a+b\color{red}10^a\times10^b=10^{a+b}
A=0,75×10(−1)103A=0,75\times{\frac{10^{(-1)}}{10^3}}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;En effet : 10a10b=10a−b\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}
A=0,75×10(−1−3)A=0,75\times{10^{(-1-3)}}
A=0,75×10−4A=0,75\times{10^{-4}}
A=0,75×0,0001A=0,75\times{0,0001}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;Avec 10−4=1104=0,000110^{-4}=\frac{1}{10^4}=0,0001
A=0,000  075\color{blue}A=0,000\;075 ⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture décimale.
2°) Déterminons l'écriture scientifique de A :
  • Un nombre décimal positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est sous la forme : a×10n{\color{red}\boxed{a\times10^n}}, avec le nombre a\color{red}a compris entre 1\color{red}1(inclus) et 10\color{red}10 (exclus).
  • nn est un entier relatif. (C'est-à-dire un nombre entier positif ou négatif).

A=0,000  075A=0,000\;075
A=0,000  075×100A=0,000\;075\times10^0  \;n'est pas une écriture scientifique, donc dans un premier temps :
  • On doit décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).
    • Décaler une virgule de n\color{red}n rang vers la droite d'un nombre décimal, revient à soustraire n\color{red}n à la puissance de 10\color{red}10.
    Ici, on décale la virgule de 5\color{red}5 rangs vers la droite, on a donc :
    A=0,000  075×100A=0,000\;075\times{10^0}
    A=7,5×100−5A=7,5\times{10^{0-5}}
    A=7,5×10−5A=7,5\times{10^{-5}} ⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture scientifique.
    • Question 2

    B=4,8×10−1112×10−8B=\frac{4,8\times 10^{-11} }{12\times 10^{-8} }

    Correction
    1°) Déterminons l'écriture décimale de B :
    B=4,8×10−1112×10−8B=\frac{4,8\times 10^{-11} }{12\times 10^{-8} }     \;\; équivaut à :
    B=4,812×10−1110−8B={\frac{4,8}{12}}\times{\frac{10^{-11}}{10^{-8}}}
    B=0,4×10(−11−(−8))B=0,4\times{10^{(-11-(-8))}}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;En effet : 10a10b=10a−b\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}
    B=0,4×10−11+8B=0,4\times{10^{-11+8}}
    B=0,4×10−3B=0,4\times{10^{-3}}
    B=0,4×0,001B=0,4\times{0,001}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;Avec 10−3=1103=0,00110^{-3}=\frac{1}{10^3}=0,001
    B=0,000  4\color{blue}B=0,000\;4 ⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture décimale.
    2°) Déterminons l'écriture scientifique de B :
    • Un nombre décimal positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est sous la forme : a×10n{\color{red}\boxed{a\times10^n}}, avec le nombre a\color{red}a compris entre 1\color{red}1(inclus) et 10\color{red}10 (exclus).
    • nn est un entier relatif. (C'est-à-dire un nombre entier positif ou négatif).
    B=0,000  4B=0,000\;4
    B=0,000  4×100B=0,000\;4\times{10^0}  \;n'est pas une écriture scientifique, donc dans un premier temps :
  • On doit décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).
    • Décaler une virgule de n\color{red}n rang vers la droite d'un nombre décimal, revient à soustraire n\color{red}n à la puissance de 10\color{red}10.
    Ici, on décale la virgule de 4\color{red}4 rangs vers la droite, on a donc :
    B=0,000  4×100B=0,000\;4\times{10^0}
    B=4×100−4{B=4\times{10^{0-4}}}
    B=4×10−4\color{blue}B=4\times{10^{-4}} ⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture scientifique.
    • Question 3

    C=0,9×103×15×10−216×10−3C=\frac{0,9\times 10^{3} \times 15\times 10^{-2} }{16\times 10^{-3} }

    Correction
    1°) Déterminons l'écriture décimale de C :
    C=0,9×103×15×10−216×10−3C=\frac{0,9\times 10^{3} \times 15\times 10^{-2} }{16\times 10^{-3} } équivaut à :
    C=0,9×1516×103×10−210−3C={\frac{0,9\times15}{16}}\times{\frac{10^3\times{10^{-2}}}{10^{-3}}}
    C=0,843  75×103+(−2)10−3C=0,843\;75\times{\frac{10^{3+(-2)}}{10^{-3}}}   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;En effet : 10a×10b=10a+b\color{red}10^a\times10^b=10^{a+b}
    C=0,843  75×10110−3C=0,843\;75\times{\frac{10^{1}}{10^{-3}}}
    C=0,843  75×10(1−(−3))C=0,843\;75\times{10^{(1-(-3))}}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;En effet : 10a10b=10a−b\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}
    C=0,843  75×104C=0,843\;75\times{10^{4}}
    C=0,843  75×10  000C=0,843\;75\times{10\;000}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;Avec 104=10  00010^{4}=10\;000
    C=8  437,5\color{blue}C=8\;437,5 ⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture décimale.
    2°) Déterminons l'écriture scientifique de C :
    C=8  437,5C=8\;437,5
    C=8  437,5×100C=8\;437,5\times10^0  \;n'est pas en écriture scientifique, donc dans un premier temps :
  • On doit décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).
    • Décaler une virgule de n\color{red}n rang vers la gauche d'un nombre décimal, revient à additionner n\color{red}n à la puissance de 10\color{red}10.
    Ici, on décale la virgule de 3\color{red}3 rangs vers la gauche, on a donc :
    C=8  437,5×100C=8\;437,5\times{10^0}
    C=8,437  5×100+3C=8,437\;5\times{10^{0+3}}
    C=8,437  5×103\color{blue}C=8,437\;5\times{10^{3}}⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture scientifique.
    • Question 4

    E=5×106×2,4×10−64,8×103E=\frac{5\times 10^{6} \times 2,4\times 10^{-6} }{4,8\times 10^{3} }

    Correction
    1°) Déterminons l'écriture décimale de E :
    E=5×106×2,4×10−64,8×103E=\frac{5\times 10^{6} \times 2,4\times 10^{-6} }{4,8\times 10^{3} } équivaut à :
    E=5×2,44,8×106×10−6103E={\frac{5\times2,4}{4,8}}\times{\frac{10^6\times{10^{-6}}}{10^{3}}}
    E=2,5×106+(−6)103E=2,5\times{\frac{10^{6+(-6)}}{10^{3}}}   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;En effet : 10a×10b=10a+b\color{red}10^a\times10^b=10^{a+b}
    E=2,5×100103E=2,5\times{\frac{10^{0}}{10^{3}}}
    E=2,5×10(0−3)E=2,5\times{10^{(0-3)}}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;En effet : 10a10b=10a−b\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}
    E=2,5×10−3E=2,5\times{10^{-3}}
    E=2,5×0,  001E=2,5\times{0,\;001}  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;Avec 10−3=0  00110^{-3}=0\;001
    E=0,002  5\color{blue}E=0,002\;5 ⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture décimale.
    2°) Déterminons l'écriture scientifique de E :
    E=0,002  5E=0,002\;5
    E=0,002  5×100E=0,002\;5\times10^0    \;\;n'est pas en écriture scientifique, donc dans un premier temps :
  • On doit décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).
    • Décaler une virgule de n\color{red}n rang vers la droite d'un nombre décimal, revient à soustraire n\color{red}n à la puissance de 10\color{red}10.
    Ici, on décale la virgule de 3\color{red}3 rangs vers la droite, on a donc :
    E=0,002  5×100E=0,002\;5\times10^0
    E=2,5×100−3E=2,5\times{10^{0-3}}
    E=2,5×10−3\color{blue}E=2,5\times{10^{-3}} ⇒\color{blue}\Rightarrow   \; qui est l'écriture scientifique.

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