Sujet 3 - Exercice 1

Cette expérience aléatoire n’a que deux issues : boule verte et boule bleue.
La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.
C'est-à-dire que la probabilité d'obtenir une boule bleue $$=1-$$ la probabilité d'obtenir une boule verte.
Donc la probabilité d’obtenir une boule bleue est égale à : $$\blue{\boxed{1-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}}}$$

Chaque tirage est indépendant du précédent, les probabilités des différentes issues ne sont pas modifiées.
Donc Paul au $$7^e$$ tirage aura $$\frac{2}{5}$$ de chances d'obtenir une boule verte et $$\frac{3}{5}$$ de chances d’obtenir une boule bleue.
Or : $$\;\;$$ $${\color{blue}\frac{2}{5}<\frac{3}{5}}$$
On peut donc conclure qu'à chaque tirage Paul aura toujours plus de chance d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte.

La probabilité de tirer une boule verte est de $$\frac{2}{5}$$ ce qui correspond à 8 boules vertes.
Posons $$x$$ le nombre total de boules dans l'urne. On a donc $$\frac{8}{x}$$ boules vertes dans l'urne.
On a $$2$$ rapports égaux qui représentent la même quantité. $$(\frac{2}{5}\;\;et\;\; \frac{8}{x})$$
Il nous faut donc résoudre l'équation suivante : $$\;\;\;\;\;$$$$\frac{2}{5}=\frac{8}{x}$$
Ici, on peut appliquer le produit en croix : $$2\times{x}=5\times{8}$$
$$2x=40$$
$$\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{40}{\color{blue}2}$$ $$\;$$On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}2}$$
$$x=20$$
Cela signifie que l'urne contient exactement $$20$$ boules.
Il y a $$8$$ boules vertes, on peut donc conclure qu'il y a 12 boules bleues dans l'urne.