Polynésie 7 septembre 2026 - Exercice 1

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On dispose d'une boîte opaque contenant 77 boules blanches identiques et indiscernables au toucher. Les boules sont numérotées de 11 à 77.
Question 1
On s'intéresse aux boules dont le numéro est un nombre premier.

Citer les numéros de boules correspondant à des nombres premiers.

Correction
  • Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 22 diviseurs distincts : 11 et lui-même. (11 n'est donc pas premier.)
  • 11 n'a qu'un seul diviseur : il n'est pas premier.
  • 22, 33, 55 et 77 n'ont que deux diviseurs : 11 et eux-mêmes.
  • 4=2×24=2\times 2 et 6=2×36=2\times 3 ne sont pas premiers.
    • Les numéros premiers sont : 22 ; 33 ; 55 et 77.
    Question 2

    Vérifier que la probabilité d'obtenir une boule dont le numéro est un nombre premier est de 47\dfrac{4}{7}.

    Correction
    • La probabilité d'un évènement AA est notée P(A)P(A) et cette probabilité est définie par le quotient suivant :
      P(A)=nombre de cas favorables aˋ Anombre de cas possibles\color{red}P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables à }A}{\text{nombre de cas possibles}}
    Les 77 boules sont indiscernables au toucher : chaque boule a la même chance d'être tirée. Il y a 77 cas possibles, dont 44 cas favorables (22, 33, 55 et 77).
    La probabilité d'obtenir un nombre premier est donc de : 47\color{blue}\boxed{\dfrac{4}{7}}.
    Question 3
    On réalise l'expérience suivante : « On tire au sort une boule de la boîte, on note le numéro qu'elle porte puis on remet la boule dans la boîte ».
    On répète cette expérience 100100 fois. Le diagramme en bâtons ci-dessous représente la fréquence d'apparition de chacun des numéros.

    En utilisant ce diagramme en bâtons, déterminer la fréquence d'apparition de la boule qui porte le numéro 22.

    Correction
    On lit la hauteur du bâton du numéro 22 : il s'arrête à la graduation 1010.
    La fréquence d'apparition de la boule numéro 22 est de 10  %10\;\%.
    Question 4

    Vérifier que la somme des fréquences d'apparition des boules dont le numéro est un nombre premier est égale à 54  %54\;\%.

    Correction
    On lit les fréquences des numéros premiers 22, 33, 55 et 77 :
    10  %+12  %+22  %+10  %=54  %10\;\%+12\;\%+22\;\%+10\;\%=54\;\%
    La somme des fréquences des numéros premiers est bien égale à 54  %54\;\%.
    Question 5
    D'après les questions précédentes, on dispose des informations suivantes : la probabilité d'obtenir un nombre premier est 47\dfrac{4}{7} ; la fréquence d'apparition d'un nombre premier est de 54  %54\;\%.

    Montrer que 47\dfrac{4}{7} n'est pas égal à 54  %54\;\%.

    Correction
    47≈0,571\dfrac{4}{7}\approx 0{,}571, soit environ 57,1  %57{,}1\;\%, alors que 54  %=0,5454\;\%=0{,}54.
    On peut aussi écrire : 54  %54\;\% de 77 vaut 0,54×7=3,78≠40{,}54\times 7=3{,}78\neq 4.
    47≈57,1  %\dfrac{4}{7}\approx 57{,}1\;\% : 47\dfrac{4}{7} n'est pas égal à 54  %54\;\%.
    Question 6

    Expliquer pour quelle raison la probabilité calculée et la fréquence d'apparition mesurée ne donnent pas la même valeur.

    Correction
    • Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un évènement se rapproche de sa probabilité.
    La fréquence a été mesurée sur seulement 100100 tirages : elle dépend du hasard et varie d'une série de tirages à l'autre (c'est la fluctuation d'échantillonnage).
    La probabilité, elle, est une valeur théorique. Avec beaucoup plus de tirages, la fréquence d'apparition d'un nombre premier se rapprocherait de 47≈57,1  %\dfrac{4}{7}\approx 57{,}1\;\%.

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