Probabilités

Exercices types : 4ème partie - Exercice 2

12 min
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On lance la roue de loterie suivante :
Question 1
Quelle est la probabilité des évènements suivants :

A=A= " La roue s'arrête sur le nombre est 11."

Correction
En observant notre roue, on constate qu'il y a 22 issues qui réalisent l'évènement AA: (1, 1)\textbf{(1, 1)}.
  • La probabilité d'un évènement A, est notée P(A) et cette probabilité est définie par le quotient suivant :
    P(A)=nombre  de  cas  favorables    aˋ  Anombrede  cas  possibles\color{red}P(A)=\frac{\small\text{nombre\;de\;cas\;favorables\;\;à\;A}}{\small\text{nombre\,de\;cas\;possibles}}
La roue est composée de 88 issues possibles, donc il y a 8 possibilités au total.
On peut donc conclure, que la probabilité que la roue s'arrête sur le nombre 11 est : P(A)=28=14\color{blue}\boxed{P(A)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}
Question 2

B=B= " La roue s'arrête sur un multiple de 22."

Correction
En observant notre roue, on constate qu'il y a 33 issues qui réalisent l'évènement BB: (2, 4, 4)\textbf{(2, 4, 4)}.
  • La probabilité d'un évènement A, est notée P(A) et cette probabilité est définie par le quotient suivant :
    P(A)=nombre  de  cas  favorables    aˋ  Anombrede  cas  possibles\color{red}P(A)=\frac{\small\text{nombre\;de\;cas\;favorables\;\;à\;A}}{\small\text{nombre\,de\;cas\;possibles}}
La roue est composée de 88 issues possibles, donc il y a 8 possibilités au total.
On peut donc conclure, que la probabilité que la roue s'arrête sur un multiple de 22 est : P(B)=38\color{blue}\boxed{P(B)=\frac{3}{8}}
Question 3

C=C= " La roue s'arrête sur un diviseur de 66."

Correction
Ici il nous faut déterminer les diviseurs de 66:
1°)1°) On calcule la racine carré de 66, on obtient : 62,44.\sqrt{6}\approx2,44.
2°)2°) On divise 66 par tous les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est-à-dire 2.2.
6:1=66:1=6    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 6{\color{blue}6} sont des diviseurs de 6.6.
6:2=36:2=3    \;\; donc 2{\color{blue}2} et 3{\color{blue}3} sont des diviseurs de 6.6.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de 66, sont :(1  ;  2  ;  3  ;  6.){\color{blue}(1\;;\;2\;;\;3\;;\;6.)}
En observant notre roue, on constate qu'il y a 66 issues qui réalisent l'évènement CC: (1, 1, 2, 3, 3, 3.)\textbf{(1, 1, 2, 3, 3, 3.)}
On peut donc conclure, que la probabilité que la roue s'arrête sur un diviseur de 66 est : P(C)=68=34\color{blue}\boxed{P(C)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}}
Question 4

D=D= " La roue s'arrête sur un nombre impair."

Correction
En observant notre roue, les nombres impairs sont : (1, 1, 3, 3, 3.)\textbf{(1, 1, 3, 3, 3.)}, donc il y a 55 issues qui réalisent l'évènement DD.
  • La probabilité d'un évènement A, est notée P(A) et cette probabilité est définie par le quotient suivant :
    P(A)=nombre  de  cas  favorables    aˋ  Anombrede  cas  possibles\color{red}P(A)=\frac{\small\text{nombre\;de\;cas\;favorables\;\;à\;A}}{\small\text{nombre\,de\;cas\;possibles}}
La roue est composée de 88 issues possibles, donc il y a 8 possibilités au total.
On a 5 nombres impairs, on peut donc conclure, que la probabilité que la roue s'arrête sur un nombre impair est : P(D)=58\color{blue}\boxed{P(D)=\frac{5}{8}}
Question 5

E=E= " La roue s'arrête sur un nombre premier"

Correction
  • Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1\color{red}1 et le nombre lui-même.
  • En observant notre roue, les nombres premiers sont : (2, 3, 3, 3.)\textbf{(2, 3, 3, 3.)}, donc il y a 44 issues qui réalisent l'évènement EE.
    • La probabilité d'un évènement A, est notée P(A) et cette probabilité est définie par le quotient suivant :
      P(A)=nombre  de  cas  favorables    aˋ  Anombrede  cas  possibles\color{red}P(A)=\frac{\small\text{nombre\;de\;cas\;favorables\;\;à\;A}}{\small\text{nombre\,de\;cas\;possibles}}
    La roue est composée de 88 issues possibles, donc il y a 8 possibilités au total.
    On a 4 nombres premiers, on peut donc conclure, que la probabilité que la roue s'arrête sur un nombre premier est : P(E)=48=12\color{blue}\boxed{P(E)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}}
    Question 6

    F=F= " La roue s'arrête sur un nombre supérieur à 55."

    Correction
    En observant notre roue, on constate qu'il n'y a aucun nombre supérieur à 55, donc il y a 00 issues qui réalisent l'évènement FF.
    La roue est composée de 88 issues possibles, donc il y a 8 possibilités au total.
    On peut donc conclure, que la probabilité que la roue s'arrête sur un nombre supérieur à 55 est : P(F)=08\color{blue}\boxed{P(F)=\frac{0}{8}}
    Question 7

    G=G= " La roue s'arrête sur un diviseur de 1212."

    Correction
    Ici il nous faut déterminer les diviseurs de 1212:
    1°)1°) On calcule la racine carrée de 1212, on obtient : 123,46.\sqrt{12}\approx3,46.
    2°)2°) On divise 1212 par tous les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est-à-dire 3.3.
    12:1=1212:1=12    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 12{\color{blue}12} sont des diviseurs de 12.12.
    12:2=612:2=6    \;\; donc 2{\color{blue}2} et 6{\color{blue}6} sont des diviseurs de 12.12.
    12:3=412:3=4    \;\; donc 3{\color{blue}3} et 4{\color{blue}4} sont des diviseurs de 12.12.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 1212, sont :(1  ;  2  ;  3  ;  4  ;  6  ;  12.){\color{blue}(1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;6\;;\;12.)}
    En observant notre roue, on constate que toutes les issues réalisent l'évènement GG.
    On peut donc conclure, que la probabilité que la roue s'arrête sur un diviseur de 1212 est : P(G)=88\color{blue}\boxed{P(G)=\frac{8}{8}}. (C'est un évènement certain).