Utiliser le vocabulaire et les notations des fonctions - Exercice 3

8 min
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COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image, antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
On considère la fonction carré h:x⟼x2h : x\longmapsto x^2. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
Question 1

« Le nombre −1-1 a pour image −1-1 par hh. »

Correction
Pour calculer l'image de −1-1 par hh, il nous faut déterminer h(−1)h(-1). C'est-à-dire remplacer la valeur de xx par −1-1. Ainsi :
h(−1)=(−1)2h(-1)=(-1)^2   \; Ici, il faut bien penser à mettre la valeur −1-1 entre parenthèses.
h(−1)=(−1)×(−1)h(-1)=(-1)\times(-1)
h(−1)=1h(-1)=1

L'image de −1-1 par hh est 11, et non pas −1-1. L'affirmation est donc fausse.
Question 2

« Un nombre peut avoir deux images différentes par hh. »

Correction
  • Une fonction associe à chaque nombre xx un unique nombre, appelé image de xx et noté f(x)f(x).
  • Si f(a)=bf(a)=b, on dit que bb est l'image de aa par ff, et que aa est un antécédent de bb par ff.
  • La notation f:x⟼f(x)f : x\longmapsto f(x) se lit « ff est la fonction qui, à xx, associe f(x)f(x) ».
Une fonction associe à chaque nombre une seule image. Par exemple, l'image de 33 par hh est 32=93^2=9, et uniquement 99.
L'affirmation est donc fausse, et cela pour n'importe quelle fonction.
Question 3

« Un nombre peut avoir deux antécédents par hh. »

Correction
  • Une fonction associe à chaque nombre xx un unique nombre, appelé image de xx et noté f(x)f(x).
  • Si f(a)=bf(a)=b, on dit que bb est l'image de aa par ff, et que aa est un antécédent de bb par ff.
  • La notation f:x⟼f(x)f : x\longmapsto f(x) se lit « ff est la fonction qui, à xx, associe f(x)f(x) ».
Calculons quelques images à l'aide d'un tableau de valeurs :
h(−3)=(−3)2=9h(-3)=(-3)^2=9   \; et   \; h(3)=32=9h(3)=3^2=9.
Les nombres −3-3 et 33 ont la même image 99 : le nombre 99 a donc deux antécédents, −3-3 et 33.
L'affirmation est donc vraie. Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents.
Question 4

« Le nombre −4-4 a un antécédent par hh. »

Correction
  • Un carré est toujours positif ou nul : pour tout nombre xx, x2≥0x^2\geq 0.
  • Si a>0a\gt 0, l'équation x2=ax^2=a a deux solutions : a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a}.
  • L'équation x2=0x^2=0 a une seule solution : 00. Si a<0a\lt 0, l'équation x2=ax^2=a n'a pas de solution.
Un antécédent de −4-4 serait un nombre xx tel que x2=−4x^2=-4.
Or un carré est toujours positif ou nul : x2≥0x^2\geq 0, donc x2x^2 ne peut jamais être égal à −4-4.
L'affirmation est donc fausse : −4-4 n'a pas d'antécédent par la fonction carré.

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