Notions de fonctions

Sujet 1 - Exercice 1

25 min
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Question 1
On considère les fonctions f et g définies par :f(x)=2x+1f(x)=2x+1 et g(x)=x2+4x−5.g(x)=x^2+4x-5.
Léa souhaite étudier les fonctions ff et gg à l’aide d’un tableur. Elle a donc rempli les formules qu’elle a ensuite étirées pour obtenir le calcul de toutes les valeurs. Voici une capture d’écran de son travail. On ne demande pas de justification.

Quelle est l’image de 33 par la fonction ff ?

Correction
A l'aide du tableur ci dessus, on peut en déduire que l'image de 3\color{blue}3 par la fonction f\color{blue}f est 7\color{blue}7.
(C'est la valeur que l'on peut lire dans la cellule H2.)
Question 2

Calculer le nombre qui doit apparaître dans la cellule C3.C3.

Correction
Dans la cellule C3C3, on constate qu'il s'agit de la valeur de g(x)g(x) pour x=−2.x=-2.
Pour calculer l'image de −2-2 par gg, il nous faut déterminer g(−2)g\left(-2\right) . C'est-à-dire remplacer la valeur de xx par −2-2. Ainsi :
g(x)=x2+4x−5.g(x)=x^2+4x-5.
g(−2)=(−2)2+4×(−2)−5g\left(-2\right)=(-2)^2+4\times(-2)-5
g(−2)=4−8−5g\left(-2\right)=4-8-5
g(−2)=−9\color{blue}\boxed{g(-2)=-9}
Question 3

Quelle formule Léa a-t-elle saisie dans la cellule B2?B2 ?

Correction
La formule que Léa à saisie dans la cellule B2B2 est : =2∗B1+1\color{blue}\boxed{=2^*{B1}+1}
Question 4

À l’aide de la copie d’écran, donner une solution de l’inéquation 2x+1<x2+4x−5.2x+1<x^2+4x-5.

Correction
Ici on constate d'après notre énoncé, que f(x)=2x+1f(x)=2x+1, et que g(x)=x2+4x−5.g(x)=x^2+4x-5.
Autrement dit on souhaite déterminer une solution de l'inéquation f(x)<g(x)f(x)<g(x)
A l'aide de la copie écran on a :f(2)=5\color{blue}f(2)=5 et g(2)=7\color{blue}g(2)=7 On en déduit donc :
f(2)<g(2).\color{blue}f(2)<g(2).
On peut donc conclure que 22 est une solution de l'inéquation f(x)<g(x)  .\color{black}f(x)<g(x)\;.
Question 5

Déterminer un antécédent de 11 par la fonction f.f.

Correction
A l'aide de la copie écran on peut en déduire qu'un antécédent de 11 par la fonction ff est 0.0.
(C'est la valeur que l'on peut lire dans la cellule E1.)
Question 6

Faire deux phrases différentes avec les mots « antécédent » et « image » pour traduire l’égalité g(3)=16.g (3) = 16.

Correction
Avec le mot image : L’image de 33 par la fonction gg est 16.16.
Avec le mot antécédent : Un antécédent de 1616 par la fonction gg est 3.3.
Question 7

Compléter le programme Scratch qui permettrait de déterminer si un nombre est solution de l’inéquation 2x+1<x2+4x−5.2x+1<x^2+4x-5.

Correction
N'hésitez pas à tester ce programme sur Scratch.