Savoir si un point appartient à la courbe d'une fonction - Exercice 3

10 min
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COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image, antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
On considère la fonction pp définie par p(x)=0,5x2−2p(x)=0{,}5x^2-2. Sa courbe représentative Cp\mathscr{C}_p est tracée ci-dessous, avec deux points EE et FF.
Question 1

Le point E(3  ;  2,5)E\left(3\;;\;2{,}5\right) appartient-il à la courbe Cp\mathscr{C}_p ?

Correction
  • Le point M(a  ;  b)M\left(a\;;\;b\right) appartient à la courbe Cf\mathscr{C}_f de la fonction ff si et seulement si f(a)=bf(a)=b.
  • Pour le savoir, on calcule donc l'image de l'abscisse aa, et on la compare à l'ordonnée bb.
p(3)=0,5×32−2p(3)=0{,}5\times 3^2-2
p(3)=0,5×9−2p(3)=0{,}5\times 9-2
p(3)=4,5−2p(3)=4{,}5-2
p(3)=2,5p(3)=2{,}5

On obtient l'ordonnée du point EE : le point EE appartient à la courbe Cp\mathscr{C}_p.
Question 2

Sur le graphique, le point F(1,5  ;  −1)F\left(1{,}5\;;\;-1\right) semble être sur la courbe. Est-ce vraiment le cas ?

Correction
Un graphique ne permet pas de prouver qu'un point appartient à une courbe : il faut faire le calcul.
p(1,5)=0,5×1,52−2p(1{,}5)=0{,}5\times 1{,}5^2-2
p(1,5)=0,5×2,25−2p(1{,}5)=0{,}5\times 2{,}25-2
p(1,5)=1,125−2p(1{,}5)=1{,}125-2
p(1,5)=−0,875p(1{,}5)=-0{,}875

Or l'ordonnée du point FF est −1-1, et −0,875≠−1-0{,}875\neq -1.
On peut donc conclure que le point FF n'appartient pas à la courbe Cp\mathscr{C}_p : il est très proche de la courbe, juste en dessous.
Question 3

Déterminer le nombre positif aa tel que le point G(a  ;  6)G\left(a\;;\;6\right) appartienne à la courbe Cp\mathscr{C}_p.

Correction
Le point G(a  ;  6)G\left(a\;;\;6\right) appartient à Cp\mathscr{C}_p si et seulement si p(a)=6p(a)=6. Il nous faut donc résoudre l'équation p(a)=6p(a)=6.
p(a)=6p(a)=6 équivaut successivement à :
0,5a2−2=60{,}5a^2-2=6
0,5a2−2+2=6+20{,}5a^2-2{\color{blue}+2}=6{\color{blue}+2}
0,5a2=80{,}5a^2=8
0,5a20,5=80,5\dfrac{0{,}5a^2}{\color{blue}0{,}5}=\dfrac{8}{\color{blue}0{,}5}
a2=16a^2=16
Les nombres dont le carré est égal à 1616 sont 44 et −4-4. Or on cherche un nombre positif.
a=4a=4

Le point G(4  ;  6)G\left(4\;;\;6\right) appartient à la courbe Cp\mathscr{C}_p.

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